圖書簡介
本書用統一的數學語言和符號系統地介紹了網路與信息安全所涉及的數學理論和方法，特別是與三大難解數學問題相關的數論、代數和橢圓曲線理論等，並對一些重要算法作了詳盡的推理和闡述。此外，還介紹了網路與信息安全研究和套用中所產生的新的數學成果。
本書可作為網路與信息安全專業、通信安全、計算機安全和保密專業等的本科生和研究生的教學用書，也可以作為網路與信息安全的專業人員和從業人員的參考用書。
目錄
第1章 整數的可除性
1.1 整除的概念、歐幾里得除法
1.1.1 整除的概念
1.1.2 Eratoshenes篩法
1.1.3 歐幾里得除法 ——最小非負餘數
1.1.4 素數的平凡判別
1.1.5 歐幾里得除法 ——一般餘數
1.2 整數的表示
1.2.1 b進制
1.2.2 計算複雜性
1.3 最大公因數與廣義歐幾里得除法
1.3.1 最大公因數
1.3.2 廣義歐幾里得除法及計算最大公因數
1.3.3 Bezout等式
1.3.4 Bezout等式的證明
1.3.5 最大公因數的進一步性質
1.3.6 多個整數的最大公因數及計算
1.3.7 形為 2a1的整數及其最大公因數
1.4 整除的進一步性質及最低公倍數
1.4.1 整除的進一步性質
1.4.2 最低公倍數
1.4.3 最低公倍數與最大公因數
1.4.4 多個整數的最低公倍數
1.5 整數分解
1.6 素數的算術基本定理
1.6.1 算術基本定理
1.6.2 算術基本定理的套用
1.7 素數定理
1.8 習題
第2章 同餘
2.1 同餘的概念及基本性質
2.1.1 同餘的概念
2.1.2 同餘的判斷
2.1.3 同餘的性質
2.2 剩餘類及完全剩餘系
2.2.1 剩餘類與剩餘
2.2.2 完全剩餘系
2.2.3 兩個模的完全剩餘系
2.2.4 多個模的完全剩餘系
2.3 簡化剩餘系與歐拉函式
2.3.1 歐拉函式
2.3.2 簡化剩餘類與簡化剩餘系
2.3.3 兩個模的簡化剩餘系
2.3.4 歐拉函式的性質
2.4 歐拉定理、費馬小定理和 Wilson定理
2.4.1 歐拉定理
2.4.2 費馬小定理
2.4.3 Wilson定理
2.5 模重複平方計算法
2.6 習題
第3章 同餘式
3.1 基本概念及一次同餘式
3.1.1 同餘式的基本概念
3.1.2 一次同餘式
3.2 中國剩餘定理
3.2.1 中國剩餘定理：“物不知數”與韓信點兵
3.2.2 兩個方程的中國剩餘定理
3.2.3 中國剩餘定理之構造證明
3.2.4 中國剩餘定理之遞歸證明
3.2.5 中國剩餘定理之套用 ——算法最佳化
3.3 高次同餘式的解數及解法
3.3.1 高次同餘式的解數
3.3.2 高次同餘式的提升
3.3.3 高次同餘式的提升 ——具體套用
3.4 素數模的同餘式
3.4.1 素數模的多項式歐幾里得除法
3.4.2 素數模的同餘式的簡化
3.4.3 素數模的同餘式的因式分解
3.4.4 素數模的同餘式的解數估計
3.5 習題
第4章 二次同餘式與平方剩餘
4.1 一般二次同餘式
4.2 模為奇素數的平方剩餘與平方非剩餘
4.3 勒讓得符號
4.3.1 勒讓得符號之運算性質
4.3.2 高斯引理
4.4 二次互反律
4.5 雅可比符號
4.6 模平方根
4.6.1 模 p平方根
4.6.2 模 p平方根
4.6.3 模 m平方根
4.7 x2
4.8 習題
第5章 原根與指標
5.1 指數及其基本性質
5.1.1 指數
5.1.2 指數的基本性質
5.1.3 大指數的構造
5.2 原根
5.2.1 模 p原根
5.2.2 模 pα原根
5.2.3 模 2α指數
5.2.4 模 m原根
5.3 指標及 n次同餘式
5.3.1 指標
5.3.2 n次同餘式
5.4 習題
第6章 素性檢驗
6.1 偽素數
6.1.1 偽素數 Fermat素性檢驗
6.1.2 無窮多偽素數
6.1.3 平方因子的判別
6.1.4 Carmicheal數
6.2 Euler偽素數
6.2.1 Euler偽素數、Solovay-Stassen素性檢驗
6.2.2 無窮多 Euler偽素數
6.3 強偽素數
6.3.1 強偽素數、Miller-Rabin素性檢驗
6.3.2 無窮多強偽素數
6.4 習題
第7章 連分數
7.1 簡單連分數
7.1.1 簡單連分數構造
7.1.2 簡單連分數的漸近分數
7.1.3 重要常數e,π,γ的簡單連分數
7.2 連分數
7.2.1 基本概念及性質
7.2.2 連分數的漸近分數
7.3 簡單連分數的進一步性質
7.4 最佳逼近
7.5 循環連分數
7.6 √ n與因數分解
7.7 習題
第8章 群
8.1 群
8.1.1 基本定義
8.1.2 子群
8.2 正規子群和商群
8.2.1 陪集的拉格朗日定理
8.2.2 陪集的進一步性質
8.2.3 正規子群和商群
8.3 同態和同構
8.3.1 基本概念
8.3.2 同態分解定理
8.3.3 同態分解定理的進一步性質
8.4 習題
第9章 群的結構
9.1 循環群
9.1.1 循環群
9.1.2 循環子群的構造
9.2 有限生成交換群
9.3 置換群
9.4 習題
第10章 環與理想
10.1 環
10.1.1 基本定義
10.1.2 零因子環
10.1.3 整環及域
10.1.4 交換環上的整除
10.2 同態
10.3 特徵及素域
10.4 分式域
10.5 理想和商環
10.5.1 理想
10.5.2 商環
10.5.3 環同態分解定理
10.6 素理想
10.7 習題
第11章 多項式環
11.1 多項式整環
11.2 多項式整除與不可約多項式
11.3 多項式歐幾里得除法
11.4 多項式同餘
11.5 本原多項式
11.6 多項式理想
11.7 多項式結式與判別式
11.8 習題
第12章 域和 Galois理論
12.1 域的擴張
12.1.1 域的有限擴張
12.1.2 域的代數擴張
12.2 Galois基本定理
12.2.1 K-同構
12.2.2 Galois基本定理概述
12.2.3 基本定理之證明
12.3 可分域、代數閉包
12.3.1 可分域
12.3.2 代數閉包
12.4 習題
第13章 域的結構
13.1 超越基
13.2 有限域的構造
13.3 有限域的 Galois群
13.3.1 有限域的 Frobenius映射
13.3.2 有限域的 Galois群概述
13.4 正規基
13.5 習題
第14章 橢圓曲線
14.1 橢圓曲線基本概念
14.2 加法原理
14.2.1 實數域 R上橢圓曲線
14.2.2 素域 Fp (p> 3)上的橢圓曲線 E
14.2.3 域 F2n (n≥1)上的橢圓曲線 E, j(E)≠0
14.3 有限域上的橢圓曲線的階
14.4 重複倍加算法
14.5 習題
第15章 AKS素性檢驗
附錄A 三個數學難題
附錄B 周期序列
附錄C 前1280個素數及其原根表
附錄D F359
D.1 域F359中生成元g=7的冪指表：由k得到h=gk
D.2 域F359中生成元g=7的指數表：由h得到gk=h
附錄E F28=F2/(x8+x4+x3+x2+1)
E.1 域中生成元g=x的冪指表：由k得到h=gk
E.2 域中生成元g=x的指數表：由h得到gk=h
E.3 域中生成元g=x的冪的函式u2+u表：由k得到h=g2k+gk
E.4 域中生成元g=x的廣義指數表：由h得到g2k+gk=h
附錄F F28=F2/(x8+x4+x3+x+1)
F.1 域中生成元g=x+1的冪指表：由k得到h=gk
F.2 域中生成元g=x+1的指數表：由h得到gk=h
F.3 域中生成元g=x+1的冪的函式u2+u表：由k得到h=g2k+gk
F.4 域中生成元g=x+1的廣義指數表：由h得到g2k+gk=h
索引
參考文獻
