定義
諾特模是一種重要的模。它是阿廷模的對偶概念。即滿足極大條件的模。若A模M的任一子模升鏈M1M2…都是有限終止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，則稱模M滿足升鏈條件。模M是諾特模的充分必要條件是它滿足升鏈條件；也等價於，M的每個子模是有限生成的。若將環A看做左A模時它是諾特模，則稱A是左諾特環(關於右的情形完全類似)。諾特環是一類概括廣的重要環，它在代數幾何等學科中有很大的套用價值。域上的多元多項式及其商環(因而代數曲線、代數曲面的坐標環)都是諾特環。
阿廷模
與諾特模對偶的概念，即滿足極小條件的模。若A模M的任一子模降鏈MM…都是有限終止的，即存在n，使得M=M=…，則稱模M滿足降鏈條件。模M是阿廷模的充分必要條件是它滿足降鏈條件。若將環A看做左A模時它是阿廷模，則稱環A是左阿廷環(關於右的情形完全類似)。有單位元的阿廷環一定是諾特環。
諾特環
設R是一個有單位元的交換環，如果R的每個理想鏈I⫅I⫅I⫅…都存在整數n，使得對任何i≥n，I=I，則稱R是一個諾特環。設R是一個交換環，R的理想Q稱為準素理想，如果Q≠R，對任意的a，b∈R，若ab∈Q，a∉Q，則必存在正整數n，使得b∈Q。設I是交換環R的理想，I的根(或稱冪零根)是包含I的所有素理想之交，記作或radI。準素理想的根是一個素理想，這個素理想稱為與Q結合的素理想，或Q是屬於這個素理想的準素理想。交換環R中的理想I稱為有準素分解，如果I=Q∩…∩Q，其中Q，i=1，…，n都是準素理想。如果每個Q都不包含 Q∩…∩Q∩Q∩…∩Q，而且Q的根互不相同，則稱這樣的準素分解是既約的。一個有單位元的交換環R是諾特環若且唯若R的每個理想是有限生成的，若且唯若R滿足理想的極大條件：對R的任一個理想的非空族{I}，其中必存在極大元I，即若J∈ {I}，I⫅J，則I=J。含麼交換環是諾特環若且唯若每個素理想是有限生成的。諾特環R的每個理想I，I≠R，有準素分解，而且若I=A∩…∩A，I=B∩…∩B是兩個既約準素分解，其中A是屬於P的準素理想，B是屬於Q的準素理想，則n=m，而且適當重排順序後，P=Q。環R的非空子集S稱為R的一個乘閉子集，如果對任何a，b∈S，ab∈S。設S是交換環R的一個乘閉子集，在集合R×S上定義一個關係～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S∈S使得s(rs′-r′s) =0，這個關係是一個等價關係，(r，s)所在等價類記作r/s，R×S的全體等價類做成的集合記作SR，在SR中定義則SR做成一個有單位元的交換環。SR稱為R對於S的分式環。一個有單位元的交換環稱為局部環，如果它只有一個極大理想。設R是有單位元的交換環，P是R的素理想，令S=R\P，則S是R的乘閉子集，分式環SR是一個局部環，稱為R在P處的局部化，記作R。設S是諾特環R的乘閉子集，則SR也是諾特環。設R是—個諾特環，R[x，…，x]是R上文字x，…，x的多項式全體做成的環，則R[x，…，x]也是諾特環，這個結論稱為希爾伯特基定理。設R是一個諾特環，R[[x]]是R上文字x的形式冪級數全體做成的環，則R[[x]]也是諾特環。
性質
模M是諾特的，若且唯若M的任意子模是有限生成的A模。
1.模M是諾特的，若且唯若M的任意子模是有限生成的A模。
諾特模
諾特模證明：=>否則不妨設，那么為無窮升鏈，與M是諾特的相矛盾。
諾特模
諾特模<=如果存在無窮升鏈，考慮即可導致矛盾。
2. 模M是諾特的，若且唯若對於M的任意自模N，N和M/N均為諾特模。
證明：=>若M是諾特的，顯然N也是諾特的。對於M/N的任意自模，唯一對應了一個包含N的M自模，因此易知其也為諾特的。
諾特模<=對於M的任意上升鏈，我們考察如下兩個升鏈
諾特模
諾特模
諾特模
諾特模
諾特模
諾特模顯然存在r使得當n>r時有且，對於第二項我們用群同構定理可知，又由第一項我們有。
諾特模
諾特模推論1：如果是諾特的，那么也是諾特的。
推論2：如果R是諾特環，那么其上的有限生成模是諾特的。
