A 被稱作 N-1 環，若且唯若其在分式域 K 中的整閉包是有限 A-模。 A 被稱作 N-2 環（或日本環，以紀念日本學派在此領域之貢獻），若且唯若對任何有限擴張 L / K， A 在 L 中的整閉包是有限 A-模。 A 被稱作泛日本環，若且唯若 A 上任何有限生成的整環都是日本環。 一個泛日本環 A 被稱作永田環（或擬幾何環），若且唯若 A 也是諾特環。 註：一個代數簇的局部環或其完備化稱作幾何環，但此概念並不流行。
凡擬優環皆為永田環，所以代數幾何中處理的環幾乎都是永田環。是諾特整環而非永田環的例子首先由秋月康夫於1935年給出。
