概周期函式

概周期函式

正文

又稱殆周期函式,周期函式的一種推廣,具有某種近似周期性的有界連續函式。概周期函式是在研究周期函式某種性質的基礎上進一步提出來的。三角多項式以及三角多項式序列的極限都是周期函式。而三角和 (сj為複數,λj為實數)序列的極限卻未必是周期函式。但這類極限函式的特徵可以用某種近似周期性來刻畫。考慮最簡單的情形，兩個連續周期函式ƒ(x)及g（x）的和函式S(x)=ƒ(x)+g(x)，設F為ƒ(x)的周期，G為g(x)的周期。如果F和G是可公度的,即存在正整數n1和n2，使得n1F=n2G,那么S(x)也為一周期函式，而且以n1F=n2G為周期。但當F和G是不可公度時,雖然不存在整數n1和n2，滿足

,

但由有理數集的稠密性原理可知:存在正整數n1和n2，使得
　|n1F－n2G|<δ,這裡，δ是事先任給的正數。從而，存在數τ滿足
　|n1F－τ|<δ 及 |n2G－τ|<δ 。還可以進一步證明更強的結論：對任給的δ>0,存在著正數l(δ)，使得在每一個長為l(δ)的區間內至少有一數τ滿足上式。這樣，由ƒ(x)和g(x)的連續性、周期性以及上述事實便得到：對任給的ε>0,存在著正數l(ε)，使得在每一個長為l(ε)的區間內至少有一數τ，滿足
　│S(x+τ)-S(x)│<ε。上式雖然並不說明S(x)為周期函式，但它具有近似的周期性。一般來說，可以給出如下的精確描述：設ƒ(x)為定義於實軸上的復值連續函式，如果τ滿足

，

就稱τ為ƒ（x）的屬於ε的平移數。若對任一ε>0，存在l(ε)>0,使得長度為l(ε)的區間內至少包含一個ƒ(x)的屬於ε的平移數,則稱ƒ(x)為概周期函式。任一周期函式必為概周期函式；由上可知，任意有限個周期函式的和函式也必為概周期函式。因而，復值三角和

必為概周期函式。概周期函式理論中的一個重要結果是：ƒ(x)為概周期函式若且唯若ƒ(x)可以用上述的三角和序列來一致逼近。

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