概述
阿羅不可能定理1951年肯尼斯·約瑟夫·阿羅（KennethJ．Arrow)在他的現在已經成為經濟學經典著作的《社會選擇與個人價值》一書中，採用數學的公理化方法對通行的投票選舉方式能否保證產生出合乎大多數人意願的領導者或者說“將每個個體表達的先後次序綜合成整個群體的偏好次序”進行了研究。結果，他得出了一個驚人的結論：絕大多數情況下是——不可能的！更準確的表達則是：當至少有三名候選人和兩位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規則。或者也可以說是：隨著候選人和選民的增加，“程式民主”必將越來越遠離“實質民主”。從而給出了證明一個不可思議的定理：假如有一個非常民主的群體，或者說是一個希望在民主基礎上作出自己的所有決策的社會，對它來說，群體中每一個成員的要求都是同等重要的。一般地，對於最應該做的事情，群體的每一個成員都有自己的偏好。為了決策，就要建立一個公正而一致的程式，能把個體的偏好結合起來，達成某種共識。這就要進一步假設群體中的每一個成員都能夠按自己的偏好對所需要的各種選擇進行排序，對所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。
產生
經濟研究委員會
蘭德公司關於這個定理還有一段情節頗為曲折的故事。
阿羅在大學期間就迷上了數學邏輯：讀四年級的時候，波蘭大邏輯學家塔斯基(Tarski）到阿羅所在的大學講了一年的關係演算，阿羅在他那裡接觸到諸如傳遞性、排序等概念在此之前．阿羅對他所著迷的邏輯學還是全靠自學呢。
後來，阿羅考上研究生，在哈羅德·霍特林（HaroldHotelling）的指導下攻讀數理經濟學他發現，邏輯學在經濟學中大有用武之地。就拿消費者的最優決策來說吧，消費者從許多商品組合中選出其最偏好的組台、這正好與邏輯學上的排序概念吻合。又如廠商理論總是假設廠商追求利潤最大化，當考慮時間因素時，因為將來的價格是未知的廠商只能力圖使基於期望價格的期望利潤最大化。人們知道現代經濟中的企業一般是由許多股東所共同擁有，100個股東對將來的價格可能有100種不同的期望，相應地根據期望利潤進行諸如投資之類的決策時便有100種方案。那么，問題如何解決呢?一個自然的辦法是由股東(按其占有股份多少）進行投票表決，得票最多的方案獲勝。這又是一個排序問題，阿羅所受的邏輯訓練使他自然而然地對這種關係的傳遞性進行考察，結果輕而易舉地舉出了一個反例。
阿羅第一次對社會選擇問題的嚴肅思考就這樣成為他學習標準廠商理論的一個副產品，不滿足傳遞性的反例激起了阿羅的極大興趣，但同時也成為他進一步研究的障礙，因為他覺得這個悖論素未謀面但又似曾相識。事實上這的確是一個十分古老的悖論，是由法國政治哲學家、機率理論家貢多賽在1785年提出的。但是阿羅那時對貢多賽和其他原始材料一無所知，於是暫時放棄了進一步的研究，這是1947年。
選擇政治學發生了濃厚的興趣：他發現在某些條件下，“少數服從多數”的確可以成為一個合理的投票規則。但是一個月後，他在《政治經濟學雜誌》里發現布萊克(Black）的一篇文章已捷足先登，這篇文章表達了同樣的思想看來只好再一次半途而廢了。阿羅沒有繼續研究下去其實還有另一層的原因，就是他一直以嚴肅的經濟學研究為己任，特別是致力於運用一般均衡理論來建立一個切實可行的模型作為經濟計量分析的基礎他認為在除此以外的“旁門左道”中深究下去會分散他的精力。1948年，在芝加哥考爾斯（Cowles）經濟研究委員會，阿羅出於某種原因對
經由伯格森(Bergson）在1938年給出。伯格森用一個叫做社會福利函式的映射來描述將個人偏好匯集成為社會偏好的問題，它將諸個人的效用組成的向量轉化為一個社會效用，雖然伯格森的敘述是基於基數效用概念的，但是阿羅告訴赫爾墨，不難用序數效用概念加以重新表述。於是赫爾墨順水推舟，請阿羅為他寫一個詳細的說明。當阿羅依囑著手去做時，他立即意識到這個問題跟兩年來一直困擾著他的問題實際上是一樣的。既然已經知道“少數服從多數”一般來說不能將個人的偏好匯集成社會的偏好，阿羅猜測也許會有其他方法。幾天的試探碰壁之後，阿羅懷疑這個問題會有一個不可能性的結果。果然，他很快就發現了這樣一個結果；幾個星期以後，他又對這個結果作進一步加強。1949年夏天，阿羅擔任蘭德公司(Rand）的顧問。這個為給美國空軍提供諮詢而建立起來的公司那時的研究範圍十分廣泛，包括當時尚屬鮮為人知的對策論。職員中有個名叫赫爾墨([[]Helmer]]）的哲學家試圖將對策論套用於國家關係的研究，但是有個問題令他感到十分棘手：當將局中人詮釋為國家時，儘管個人的偏好是足夠清楚的，但是由個人組成的集體的偏好是如何定義的呢?阿羅告訴他，經濟學家已經考慮過這個問題，並且一個恰當的形式化描述已
阿羅不可能定理就這樣誕生了。
從1947年萌發胚芽到1950年開花結果，阿羅不可能定理的問世可謂一波三折，千呼萬喚始出來，而且頗有點無心插柳的意味。但是，正是在這無心背後的對科學鍥而不捨的追求，才使邏輯學在社會科學這塊他鄉異壤開出一朵千古留芳的奇葩這不能不說是耐人尋味的。
內容
西方經濟學阿羅的不可能定理源自孔多塞的“投票悖論”，早在十八世紀法國思想
家孔多賽就提出了著名的“投票悖論”：假設甲乙丙三人，面對ABC三個備選方案，有如圖的偏好排序。
甲（a>b>c）；乙（b>c>a）；丙（c>a>b）註：甲（a>b>c）代表——甲偏好a勝於b，又偏好b勝於c。
1、若取“a”、“b”對決，那么按照偏好次序排列如下：
甲（a>b）；乙（b>a）；丙（a>b）；社會次序偏好為（a>b）
2、若取“b”、“c”對決，那么按照偏好次序排列如下：
甲（b>c）；乙（b>c）；丙（c>b）；社會次序偏好為（b>c）
3、若取“a”、“c”對決，那么按照偏好次序排列如下：
甲（a>c）；乙（c>a）；丙（c>a）；社會次序偏好為（c>a）
於是得到三個社會偏好次序——（a>b）、（b>c）、（c>a），其投票結果顯示“社會偏好”有如下事實：社會偏好a勝於b、偏好b勝於c、偏好c勝於a。顯而易見，這種所謂的“社會偏好次序”包含有內在的矛盾，即社會偏好a勝於c，而又認為a不如c！所以按照投票的大多數規則，不能得出合理的社會偏好次序。
表1 投票悖論
| 投票者 | 對不同選擇方案的偏好次序 | ||
| 甲 | a | b | c |
| 乙 | b | c | a |
| 丙 | c | a | b |
推理及評價
阿羅不可能定理
阿羅不可能定理
阿羅不可能定理甲：V>C>S；乙：C>S>V；丙：S>V>C
投票者對不同選擇方案的偏好次序，甲：V；C；S。乙：C；S；V。丙：S；V；C。
用民主的多數表決方式，如果三個人都能充分表達自己的意見，則結果必然如下所示：
首先，在V和C中選擇，甲、丙喜歡V，乙喜歡C；
然後，在C和S中選擇，甲、乙喜歡C，丙喜歡S；
最後，在V和S中選擇，乙、丙喜歡S，甲喜歡V。
這樣三個人的最終表決結果如下：
V>C，C>S，S>V可見，利用少數服從多數的投票機制，將產生不出一個令所有人滿意的結論，這就是著名的“投票悖論”(paradoxofvoting)。這個投票悖論最早是由康德爾賽(Coudorcet，Marquisde)在l8世紀提出的，因而該悖論又稱為“康德爾賽效應”，而利用數學對其進行論證的則是阿羅。
用數學語言來說，即：假設群體S上有m個個體成員，群體中出現的各種事件構成一個集合X，每個個體對每一事件都有自己的態度，即每個人都對集合X有一個偏好關係>i=1，2，…，m。即可以按自己的偏好為事件排序。定義群體的偏好為：其中P是一種由每個個體偏好得出群體偏好的規則。按這個規則從個體排序(偏好)得到群體排序(偏好)，而且這個排序符合民主社會的民主決策的各種要求。注意這個排序是自反的，即如果A>B，那么，BB，B>C，則有A>C；並且還是完全的，即要么A>B，要么B>A，二者只有其一而且必有其一。這首先要考察一下民主社會的民主決策的各種要求是什麼，阿羅用4個公理(有時表述為5條，把公理1分為兩條)表述出這些要求。他用的是數學方法，符號化的公理和數理邏輯的證明方法，為了簡單地說明問題，採用了自然語言解釋。
公理1：個體可以有任何偏好；而且是民主選擇——每個社會成員都可以自由地按自己的偏好進行選擇(數學上稱為原則U—無限制原則：>i，u=1，2，…，m在x上的定義方式無任何限制)。
公理2：不相干的選擇是互相獨立的；(數學上稱為原則I——獨立性原則：對於X中的兩個事件X和Y，對它們做出的偏好判斷與X中的任何其他事件無關)。
公理3：社會價值與個體價值之間有正向關聯；(數學上稱為原則P—一致性原則：如果對X中的兩個事件X和Y，對於所有的i都有xiY不成立。就是說，每人都有同樣明確態度的兩件事，社會也應該有同樣的態度。)
公理4：沒有獨裁者——不存在能把個體偏好強加給社會的可能。(數學上稱為原則D——非獨裁原則：不存在某個i，使得阿羅證明，滿足這4條公理表述的要求的民主決策的規則是不存在的，就是著名的“阿羅不可能性定理”：如果X中的事件個數不小於3，那么就不存在任何遵循原則U，P，I，D的規則(稱為“社會福利函式”)。這表明滿足所有一般條件的民主選擇要么是強加的，要么就是獨裁的結果。
換句話說，阿羅不可能性定理指出，多數規則(majorilyrule)的一個根本缺陷就是在實際決策中往往導致循環投票。
在得多數票獲勝的規則下，每個人均按照他的偏好來投票。不難看出，大多數人是偏好X勝於Y，同樣大多數人也是偏好Y勝於Z。按照邏輯上的一致性，這種偏好應當是可以傳遞的(transitivity)，即大多數人偏好X勝於Z。但實際上，大多數人偏好Z勝於X。因此，以投票的多數規則來確定社會或集體的選擇會產生循環的結果。結果，在這些選擇方案中，沒有一個能夠獲得多數票而通過，這就是“投票悖論”，它對所有的公共選擇問題都是一種固有的難題，所有的公共選擇規則都難以避開這兩難境地。
這個結果是令人震動的：一個社會不可能有完全的每個個人的自由——否則將導致獨裁；一個社會也不可能實現完全的自由經濟——否則將導致壟斷。人們對社會的認識達到一個新的高度。因此阿羅的不可能定理一經問世便對當時的政治哲學和福利經濟學產生了巨大的衝擊，甚至招來了上百篇文章對他的定理的駁斥。李特爾、薩繆爾森試圖以與福利經濟學不相干的論點來駁倒阿羅的不可能定理，但又遭到肯普、黃有光和帕克斯的反駁，他們甚至建立了在給定個人次序情況下的不可能性結果。那么，能不能設計出一個消除循環投票，做出合理決策的投票方案呢?阿羅的結論是：根本不存在一種能保證效率、尊重個人偏好、並且不依賴程式(agenda)的多數規則的投票方案。簡單地說，阿羅的不可能定理意味著，在通常情況下，當社會所有成員的偏好為已知時，不可能通過一定的方法從個人偏好次序得出社會偏好次序，不可能通過一定的程式準確地表達社會全體成員的個人偏好或者達到合意的公共決策。
事實上，阿羅的不可能性定理經受住了所有技術上的批評，其基本理論從來沒有受到重大挑戰，可以說是無懈可擊的，於是阿羅不可能定理似乎成為規範經濟學發展的一個不可逾越的障礙。怎樣綜合社會個體的偏好，怎樣在理論上找到一個令人滿意的評價不同社會形態的方法，成為一個世界性難題。這時候出現了阿馬弟亞·森(AmartyaKumarSen，1933一)從20世紀60年代中期起，森在工具性建設方面的貢獻減少了這種悲觀主義色彩。森在這方面的研究推動了規範經濟學跨越這個障礙向前發展。他的研究工作不僅豐富了社會選擇理論的原則，而且開闢了一個新的、重要的研究天地。森1970年的著作《集體選擇和社會福利》是其最重要的一部著作，它使許多研究者恢復了對基本福利的興趣。
投票者對不同選擇方案的偏好次序，甲：C；V；S。乙：C；S；V。丙：S；V；C。森所建議的解決方法其實非常簡單。森發現，當所有人都同意其中一項選擇方案並非最佳的情況下，阿羅的“投票悖論”就可以迎刃而解。比如，假定所有人均同意V項選擇方案並非最佳，這樣上面的表1就變為表2，僅僅甲的偏好由於同意“V並非最佳”而V和C的順序互換了一下，別的都不變。
在對V和C兩種方案投票時，C以兩票(甲乙)對一票(丙)而勝出於V(C>V)；同理，在對V和S以及C和S分別進行投票時，可以得到S以兩票(乙丙)對一票(甲)而勝出於V(S>V)；C以兩票(甲乙)對一票(丙)而勝出於S(C>S)。這樣，C>S—S>V—C>V，投票悖論就此宣告消失，唯有C項選擇方案得到大多數票而獲勝。
森把這個發現加以延伸和拓展，得出了解決投票悖論的三種選擇模式：
阿羅不可能定理(2)所有人都同意其中一項選擇方案並非次佳；
(3)所有人都同意其中一項選擇方案並非最差。
一個更完整、更簡單也更具一般意義的不可能性定理，是艾利亞斯在2004年發表的。這一定理聲稱：如果有多於兩個可供選擇的社會狀態，那么，任何社會集結運算元，只要滿足“偏好逆轉”假設和“弱帕累托”假設，就必定是獨裁的。特別地，阿羅的社會福利函式和森的社會選擇函式，都是社會集結運算元的特例，並且偏好逆轉假設在阿羅和繆勒各自定義的社會選擇框架內分別等價於阿羅的“獨立性假設”和繆勒的“單調性假設”，從而阿羅的不可能性定理、森的最小自由與帕累托效率兼容的不可能性定理、繆勒和塞特斯維特的一般不可能性定理，均可視為艾利亞斯一般不可能性定理的特例。艾利亞斯的不可能性定理有怎樣的經濟學和社會學結論是人們正在研究的問題。森認為，在上述三種選擇模式下，投票悖論不會再出現，取而代之的結果是得大多數票者獲勝的規則總是能達到唯一的決定。
