第一型
定義
![曲面積分](/img/a/d4b/wZwpmLwATM4MDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/9/a28/wZwpmL4MDO3czNwMTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzL2UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/d4b/wZwpmLwATM4MDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/d4b/wZwpmLwATM4MDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/6/da7/wZwpmLwczM3ATO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/d4b/wZwpmLwATM4MDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/e3f/wZwpmL1AzN1kDO3ATMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/222/wZwpmL2QzM1AjNzQzNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/3/416/wZwpmLwQzN1YjM3AzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/7/191/wZwpmLxgDOykzNzMzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzczL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/6/da7/wZwpmLwczM3ATO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/d/794/wZwpmL3QTN5EDMwUTMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/3/416/wZwpmLwQzN1YjM3AzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/8/8f8/wZwpmL1UjMyUDNxczNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3czL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
設 為空間中的曲面, 為定義在 上的函式.對曲面作分割 ,它把分成 個可求面積的小曲面片 , 的面積記為 ,分割 的細度為 ,在 上任取一點 , 若存在極限
![曲面積分](/img/e/c7c/wZwpmLzYTO3MDOygjNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzLzQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/c/512/wZwpmLyYjN2QTOyIDM2kTO0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLyAzLwYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/c/690/wZwpmL1MDO3czNwMTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/d4b/wZwpmLwATM4MDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
且它的值與分割及點的取法無關,則稱此極限 為 在 上的 第一型曲面積分 ,記為
![曲面積分](/img/d/141/wZwpmL3AzM3EzNyQTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0kzL4gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/d/21c/wZwpmL1cTM3QzMykzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5czL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
或者簡寫成 。
第一型曲面積分的計算
![曲面積分](/img/6/fe2/wZwpmL0QjM5MTM2MzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzczL3QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/8/144/wZwpmLyczN2YTO0AjMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwIzLzQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/2/f7b/wZwpmLygTN2IDOwMzMzIDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzMzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/f/8bd/wZwpmLxgDM4YTNxcTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3kzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/0/030/wZwpmLwgDM3IzM0gzNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czL4gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/301/wZwpmLyETOxkTM3MzMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzL1YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/2/f7b/wZwpmLygTN2IDOwMzMzIDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzMzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
設空間曲面S的方程為 , ,其中 為曲面S在 平面上的投影域,函式 在曲面S上連續,如果 在 上有連續的一階偏導數,則有
![曲面積分](/img/8/b45/wZwpmL1gDO3MDM3MzMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzLzczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/4/df0/wZwpmLwYjM5kjNxcDOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3gzLyUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/f/fc7/wZwpmLwcTNxYzM5IjNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyYzL4IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/d/4d7/wZwpmL1czN0kTNxcTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3kzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/f/8bd/wZwpmLxgDM4YTNxcTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3kzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/2/3cf/wZwpmL4ATMxgjM1YzMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/4/112/wZwpmLwUzM2AzM4ITOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLykzL2AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/f/fc7/wZwpmLwcTNxYzM5IjNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyYzL4IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/2/34b/wZwpmLwATN5QDNzAzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczL4czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
其中 是 在 上的投影域, 和 表示在 內某點 處的兩個偏導數。由第一型曲面積分的定義,於是將第一型曲面積分化為二重積分的計算
![曲面積分](/img/3/59c/wZwpmL4YzMzcDOwMzM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzL2AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
物理意義
![曲面積分](/img/6/d3d/wZwpmL2IjNwczM4kjNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5YzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/c/690/wZwpmL1MDO3czNwMTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/c/690/wZwpmL1MDO3czNwMTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/c/690/wZwpmL1MDO3czNwMTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
表示以 為面密度的空間曲面S的“質量”,即將空間曲面S想像成一塊光滑的(可微的)不摺疊的(單值的)質量分布服從 的薄板,故 在S上的第一型曲面積分就是薄板的代數質量 。
第二型
![曲面積分](/img/a/d4b/wZwpmLwATM4MDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/d/84b/wZwpmL1MDNyYjN0AzN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczL1czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/d4b/wZwpmLwATM4MDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/d4b/wZwpmLwATM4MDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/6/da7/wZwpmLwczM3ATO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/e3f/wZwpmL1AzN1kDO3ATMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/222/wZwpmL2QzM1AjNzQzNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/3/b31/wZwpmLwITOwgTNwYzM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzLxYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/3/416/wZwpmLwQzN1YjM3AzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/6/da7/wZwpmLwczM3ATO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/d/794/wZwpmL3QTN5EDMwUTMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/3/416/wZwpmLwQzN1YjM3AzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/8/8f8/wZwpmL1UjMyUDNxczNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3czL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
設 為空間中的曲面, 為定義在 上的函式.對曲面作分割 ,它把分成個可求面積的小曲面片 , 分別代表 在三個坐標面的投影面積。分割的細度為 ,在 上任取一點 , 若存在極限
![曲面積分](/img/a/a04/wZwpmL4QjM3YDNxEDN3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxQzL4gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/c/512/wZwpmLyYjN2QTOyIDM2kTO0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLyAzLwYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/c/690/wZwpmL1MDO3czNwMTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/d4b/wZwpmLwATM4MDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
且它的值與分割及點的取法無關,則稱此極限 為 在 上的 第二型曲面積分 ,記為
![曲面積分](/img/a/ebf/wZwpmL2MjNxUjMyQzN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czLyczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/f/6f6/wZwpmL2gzM4kjNyUzM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1MzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
或者簡寫成 。
第二型曲面積分的計算
![曲面積分](/img/6/fe2/wZwpmL0QjM5MTM2MzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzczL3QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/8/144/wZwpmLyczN2YTO0AjMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwIzLzQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/2/f7b/wZwpmLygTN2IDOwMzMzIDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzMzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/f/8bd/wZwpmLxgDM4YTNxcTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3kzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/c/679/wZwpmLzAzMzkzM2IDN3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyQzLwYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/301/wZwpmLyETOxkTM3MzMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzL1YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/2/f7b/wZwpmLygTN2IDOwMzMzIDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzMzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
設空間曲面S的方程為 , ,其中 為曲面S在 平面上的投影域,函式 在曲面S上連續,如果 在 上有連續的一階偏導數,則有
![曲面積分](/img/9/013/wZwpmLwQTN5kjNzQDM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0AzLwMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
物理意義
![曲面積分](/img/d/d7b/wZwpmLzIzN0QzM4MTO2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/0/839/wZwpmLzgzM0cTN3cTO2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3kzLwgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![曲面積分](/img/a/d4b/wZwpmLwATM4MDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
表示以為空間流體的流速場,單位時間流經曲面的總流量 。