定理定義
設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有：
AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。
驗證推導
證法一
已知：如圖2－6所示，在△ABC中，點D是線段BC上的一點，連線AD。
求證：AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。
證明：如圖2－6所示，作AH⊥BC於H。為了明確起見，設H和C在點D的同側。
由廣勾股定理 有：
斯特瓦爾特定理AC²=AD²+DC²-2DC·DH······（1）
AB²=AD²+BD²+2BD·DH······（2）
用BD乘（1）式兩邊得：
AC²·BD=AD²·BD+DC²·BD-2DC·DH·BD······（3）
用DC乘（2）式兩邊得：
AB²·DC=AD²·DC+BD²·DC+2BD·DH·DC······（4）
由 （3）+（4） 得到：
AC²·BD+AB²·DC
=AD²·(BD+DC)+DC²·BD+BD²·DC
=AD²·BC+BD·DC·BC
∴AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD
證法二
已知：如圖2－6所示，在△ABC中，點D是線段BC上的一點，連線AD。
求證：AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。
證明：
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴cos∠BDA+cos∠CDA=0
根據餘弦定理得：
AB²=BD²+AD²-2BD·AD·cos∠BDA······（1）
AC²=CD²+AD²-2CD·AD·cos∠CDA······（2）
用CD乘（1）式兩邊得：
AB²·CD=BD²·CD+AD²·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA
用BD乘（4）式兩邊得：
AC²·BD=CD²·BD+AD²·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
由 （3）+（4） 得到：
AB²·CD+AC²·BD
=BD²·CD+AD²·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA+CD²·BD+AD²·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
=(BD²·CD+CD²·BD)+(AD²·CD+AD²·BD)-(2BD·AD·CD·cos∠BDA+2CD·AD·BD·cos∠CDA)
=BD·CD·(BD+CD)+AD²·(CD+BD)-2BD·AD·CD·(cos∠BDA+cos∠CDA)
=BD·CD·BC+AD²·CD-2BD·AD·CD·0
=BD·CD·BC+AD²·CD
∴AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。
斯特瓦爾特定理的逆定理成立。
定理推廣
斯特瓦爾特定理還有如下推論:
在△ABC中，點D是線段BC上的一點，連線AD。
(1)若AB=AC，則AD²=AB²-BD·DC；
(2)若AD為BC中線，則AD²=1/2(AB²+AC²)-1/4BC² （即中線定理）；
(3)若AD為∠BAC內角平分線，則AD²=AB·AC﹣BD·DC （即角平分線長公式）；
(4)若AD為∠BAC外角平分線，則AD²=﹣AB·AC+BD·DC；
(5)若BD/BC=λ，則AD²=λ·(λ﹣1)·BC²+(1﹣λ)·AB²+λ·AC²。
並且斯特瓦爾特定理與托勒密定理和張角定理可以互化。
常見套用
①用於得到線段倍份關係；
②用於求解三角形問題（選擇適當的三角形及其邊上的點；靈活運用推論）。
