定理
斯圖爾特定理，或譯史都華定理、斯特瓦爾特定理、斯氏定理、斯坦沃特定理，又稱為阿波羅尼奧斯定理任意三角形ABC中，D是底邊BC上一點，聯結AD，則有：AB^2×CD+AC^2×BD=(AD^2+BD×DC)×BC
也可以有另一種表達形式：設BD=u，DC=v，則有：
AD^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv
證明
過點A作AE⊥BC於E, 設DE = x(假設底邊四點從左到右順序為B、D、E、C）則 AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 - (u+x)^2 = AD^2 - x^2
若E在BC的延長線上，則v-x換成x-v
所以有 AD^2 = b^2 - v^2 + 2vx
AD^2 = c^2 - u^2 - 2ux
1*u式+2*v式得
AD^2(u+v) = b^2u + c^2v - uv(u + v)
故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a - uv
1)當AD是△ABC中線時， u = v = 1/2a AD^2 = (b^2+c^2-(a^2)/2)/2
2)當AD是△ABC內角平分線時， 由三角形內角平分線的性質， 得u = ac/(b+c), v =ab/(b+c)
設s = (a+b+c)/2
得 AD^2 = 4/(b+c)^2 *(bcs(s-a))
3)當AD是△ABC高時， AD^2 = b^2 - u^2 = c^2 - v^2
再由 u+v = a
得
AD^2 = 1/4a^2(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4)
證明方法2：不妨設 角ADB=θ。AD=t
由余弦定理可得：c^2=t^2+u^2-2tu·cosθ ①
b^2=t^2+v^2+2tv·cosθ ②
①×v+②×u得：b^2u+c^2v=at^2+auv
整理即可得：t^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv
證畢
推廣
角平分線長定理
已知AD為三角形ABC的角分線，則AD^2=AB·AC-DB·DC中線定理
（pappus定理），又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關係。 定理內容：三角形一條中線兩側所對邊平方和等於底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。即，對任意三角形△ABC，設I是線段BC的中點，AI為中線，則有如下關係：
AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2
或作AB^2+AC^2=1/2BC^2+2AI^2
中線定理即為斯台沃特定理在中點時的結論，可由斯台沃特定理直接得出。
除如上給出的方法外，在此給出另外的兩種常規證明方法：
第一種是以中點為原點，在水平和豎直方向建立坐標系，
設：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，
則：(AD)^2+(CD)^2=m^2+n^2+a^2 (AB)^2+(AC)^2=(m+a)^2+n^2+(m-a)^2+n^2=2(m^2+a^2+n^2) ∴(AB)^2+(AC)^2=2((AD)^2+(CD)^2)
第二種是在不同三角形中，對同一個角用兩次餘弦定理，比如對圖示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用餘弦定理，從而直接得到三角形邊長的關係，進而得證。
