基本概念
數列
數列極限
數列極限定義 若函式的定義域為全體正整數集合，則稱
數列極限 數列極限
數列極限為數列。因正整數集的元素可按由小到大的順序排列，故數列也可寫作
數列極限
數列極限
數列極限或可簡單地記為，其中稱為該數列的通項。
數列極限
數列極限
數列極限
數列極限定義設為數列，a為定數。若對任給的正數，總存在正整數N，使得當時有
數列極限 數列極限 數列極限則稱數列收斂於a，定數a稱為數列的極限，並記作
數列極限 數列極限 數列極限 數列極限若數列沒有極限，則稱不收斂，或稱發散。
數列極限 數列極限 數列極限等價定義任給，若在(a-ε,a+ε)之外數列中的項至多只有有限個，則稱數列收斂於極限a。
幾何意義
當n>N時，所有的點xn都落在(a-ε，a+ε)內，只有有限個（至多只有N個）在其外,如右圖1
圖1性質
數列極限唯一性 若數列 收斂，則它只有一個極限。
數列極限 數列極限
數列極限有界性 若數列 收斂，則 為有界數列，即存在正數 ，使得對一切正整數n有
數列極限
數列極限
數列極限
數列極限
數列極限 數列極限
數列極限
數列極限保號性 若 (或 )，則對 (或 ),存在正數N，使得當 時，有 (或 )。
數列極限
數列極限
數列極限
數列極限
數列極限保不等式性 設 與 均為收斂數列。若存在正數 ，使得當 時有 ，則
數列極限 數列極限 數列極限
數列極限迫斂性 設收斂數列 ， 都以a為極限，數列 滿足：
數列極限 數列極限
數列極限 數列極限存在正數 ，當 時有 則數列 收斂，且
數列極限四則運算法則
數列極限 數列極限
數列極限
數列極限
數列極限若 與 為收斂數列，則 ， ， 也都是收斂數列，且有
數列極限
數列極限
數列極限
數列極限
數列極限若再假設 及 ，則 也是收斂數列，且有
數列極限存在的條件
單調有界定理 在實數系中，單調有界數列必有極限。
緻密性定理 任何有界數列必有收斂的子列。
套用
數列極限（1）求極限
解：
數列極限
數列極限（2）求極限
解：
因為
數列極限
數列極限且
數列極限
數列極限所以，由迫斂性可得
數列極限