擬共形映射
正文
又稱擬保角映射，即在定義區域內把每一微小圓映成微小橢圓的映射，是共形映射的推廣。如果所映成的橢圓的長軸與短軸之比在定義區域內恆不大於K,則此映射為K－擬共形映射。在可微點處，
與
滿足不等式
式中
。這種映射較共形映射的條件弱，但保留著共形映射多種性質，靈活而便於套用。 最早提出這類新映射的是H.格勒奇(1928)，他為了敘述與證明皮卡定理的一個推廣而引進這類新映射。他同時給出了伸縮商概念，它可以度量這類新映射與熟知的共形映射的偏差程度。М.Α.拉夫連季耶夫(1935),L.V.阿爾福斯(1936)又分別從偏微分方程與函式論的角度研究了這類新映射。這樣,擬共形映射這個術語開始出現。
擬共形映射的概念不能僅限於可微的情形，因為可微的擬共形映射類缺乏緊性。在這個概念的演變過程中，形成為分析的與幾何的兩種定義形式；這二者最終又統一了起來(1957)。
分析定義：對於平面上的復值可測函式μ(z),μ(z)是本性有界的，
以M(z)為係數的貝爾特拉米方程 
(1)
。對於上述的μ(z),方程(1)必存在一個同胚解。如果還有另外一個解g，則F＝g。ƒ-1必是解析的，此時g＝F。ƒ。因此,如要求(1)的全平面的同胚解且保持0、1、∞為不動點，則這樣的解是惟一的,稱為方程(1)的基本同胚。存在定理的證明有一個長的歷程，並有許多證法。最簡單的證法是藉助於考爾德倫－贊格蒙理論而獲得的(1957)。最早的證明應該屬於C.B.莫利(1938)，只是因為術語與重點的不同才掩蓋了他的工作與這一理論的聯繫，而這種聯繫是L.伯斯在1957年發現的。 幾何定義用了極值長度概念。設Г 是平面上一族局部可求長弧，ρ是平面上的正值可測函式，並且
。
稱為Г的極值長度。設ƒ是域內一個正向同胚映射，如果 
(2)
當K=1即k=0時，貝爾特拉米方程退化為柯西－黎曼方程；ƒ墫=0,而式(2)則意味著極值長度乃是共形映射下的不變數。1-擬共形映射恰好是共形映射。
設ƒ(z)是把｜z｜<1映成｜w｜<1(ƒ(0)＝0)的K-擬共形映射,則ƒ(z)可擴張為｜z｜≤1到｜w｜≤1的同胚映射,而且有偏離估計
這是用參數表示法獲得的一個精細估值。這種映射還滿足赫爾德條件：
這個條件說明,這個映射族有緊性。設ƒ(t)把實軸映成實軸，存在一個把Imz≥0映成 Imw≥0，且以ƒ(t)為邊界值的K- 擬共形映射的充要條件為，
對一切實數x與t成立，式中ρ是一個僅與K有關的實數。 如果
則以μ(z)為係數的貝爾特拉米方程的基本同胚ƒ(z)，在略去關於ε 的高階項以後，可以表示為 
取得最小值。由於緊性，極值映射必存在，但解不一定是惟一的，即使是惟一的，也還有一個如何描述和分析這個解的問題。擬共形性是一種局部性質,所以可在黎曼曲面上推廣,而上述極值問題仍然有意義。在緊黎曼曲面情形下，O.泰希米勒斷言，在一個指定的映射的同倫類中，極值映射是存在的，而且是惟一的。極值映射如不是共形的，則除有限個點外，在每一點附近都是一個共形映射、一個仿射變換與另一個共形映射的複合。這些，就是對極值問題的基本結果、泰希米勒定理的直觀描述。 擬共形映射理論，在橢圓型偏微分方程中占有重要地位。這個理論，在黎曼曲面的研究中，特別富有成果。如黎曼曲面的模問題、單值化問題等都由於這一理論的影響而獲巨大的進展。近些年來，人們發現這一理論在研究泰希米勒空間、克萊因群、有理函式的疊代、調和分析和彈性等方面已經成為一個有價值的工具。
