簡介
部分分式
經過有理式的恆等變形，任何有理式總能化為某個既約分式．如果這個既約分式是只含有一個自變數的真分式，還可進一步化為若干個既約真分式之和．這幾個分式便稱為原來那個既約分式的部分分式．
化有理真分式為部分分式的一般方法
由拉格朗日插值公式可推出化有理真分式為部分分式的一般方法．
特別，當f(x)＝1時，公式(L)成為
f(x)=x2＋x－3，
x0=1，x1＝2，x2＝3，
f(x0)＝－1，f(x1)＝3，f(x2)＝9，
公式(L)給出了將一個有理真分式化為部分分式之和的一般方法．但
乘積，公式(L)便失去它的實用意義了．對於具有某些特徵的有理分式，根據下述原理可以歸納出一些化部分分式的實用方法．
定理1 兩個真分式的和或差仍為真分式，或為零．
是真分式．
B(x)的次數，所以A(x)D(x)的次數低於B(x)D(x)的次數．又因為C(x)的次數低於D(x)的次數，所以B(x)C(x)的次數低於B(x)D(x)的次數，從而，A(x)D(x)±B(x)C(x)的次數低於B(x)D(x)的次數．
這個定理的結論很容易推廣到三個或三個以上的真分式．
因為一個整式不能恆等於一個真分式，所以只可能有P(x)－
那么這個分式可表示成分別以P(x)、Q(x)為分母的兩個真分式的和，並且這樣的表達式是唯一的．
證 因為P(x)與Q(x)互質，所以存在整式M(x)與N(x)滿足M(x)Q(x)＋N(x)P(x)＝1，從而有A(x)＝A(x)M(x)Q(x)＋A(x)N(x)P(x)，於是，
得證．
這樣的分式化為整式與分式的和．
可知I1(x)＋I2(x)=0，從而有
這個恆等式僅當B(x)－E(x)=0且F(x)－C(x)=0時才能夠成立，否則，便導致P(x)整除B(x)－E(x)．但已知B(x)與E(x)的次數都低於P(x)的次數，
分別以P1(x)，P2(x)，…，Pn(x)為分母的n個真分式的和，並且這樣的表達式是唯一的．
定義 如果P(x)是既約多項式，非零多項式A(x)的次數小於P(x)
因為最簡分式的分母是既約多項式的乘冪，並且A(x)不能被P(x)整除，A(x)與P(x)互質，所以最簡分式必然是既約真分式．
因為既約多項式是在一定的數域上定義的，所以，一個既約真分式被認為是最簡分式也是在一定的數域上來考慮的．例如，x2－3在有理數
在有理數域上是最簡分式，在實數域上則不是最簡分式．
一個有理真分式如果能表示成最簡分式的和，那么和式中的每一個最簡分式就是原來那個分式的部分分式．由此可見，將一個有理真分式化為部分分式之和的恆等變形可以考慮為在一定的數域上進行的將這個有理真分式表示成最簡分式的和．
證 根據將一個多項式按另一個多項式的乘冪展開的法則，可將A(x)按P(x)的乘冪展開．因為A(x)的次數小於Pn(x)的次數，所以A(x)可唯一地表示為
A(x)=r0(x)＋r1(x)P(x)＋r2(x)P2(x)＋…
＋rn-1(x)Pn-1(x)，
這裡的r0(x)，r1(x)，…，rn-1(x)的次數都比P(x)的次數小，其中也可能有一些是零多項式．於是有
定理5 任何一個有理真分式都能唯一地表示成最簡分式的和．
由定理3的推廣後的結論可得
式的和．
的次數，那么根據定理4，可將這個真分式化為最簡分式的和，從而
在實數範圍內，任何多項式P(x)＝a0xn＋a1xn-1＋…＋an(a0≠0，n是正整數)都可以分解成一次質因式和二次質因式的積(特殊情況下，可能不含有一次質因式或者二次質因式)．如果把多項式的最高次項的係數提到括弧外面，那么這個多項式的一次質因式的一般形式是x－a，二次質因式的一般形式是x2＋px＋q(p2－4q＜0)．因此，一個真分式化為部分分式的情況，就實數域而言可以分成四種類型：
(1)如果分母中含有因式x－a，並且只含有一個，那么對應的部分
(2)如果分母中含有因式x－a，並且含有k(k＞1)個，那么對應的部分分式是k個分式：
這裡的A1，A2…，Ak都是常數．
(3)如果分母中含有因式x2＋px＋q(p2－4q＜0)，並且只含有一個，
(4)如果分母中含有因式x2＋px＋q(p2－4q＜0)，並且含有k(k＞1)個，那么對應的部分分式是k個分式：
這裡的A1，B1，A2，B2，…，Ak，Bk都是常數．
解 設
這裡的A、B、C都是常數．
因為x2＋x－3＝A(x－2)(x－3)＋B(x－1)(x－3)＋C(x－1)(x－2)，所以，分別令x=1，x=2，x=3，
解 將4x3＋12x2＋48x＋108按x＋1的乘冪展開為
4x3＋12x2＋48x＋108=4(x＋1)3＋36(x＋1)＋68，於是
解 設x－3＝y，於是x=y＋3，因此，
如果設
再由9x3－24x2＋48x＝A(x－2)4＋B(x－2)3(x＋1)＋C(x－2)2(x＋1)＋D(x－2)(x＋1)＋E(x＋1)
求A，B，C，D，E的值，需要解一個五元一次方程組，計算
9x3－24x2＋48x＝A(x－2)4＋(x＋1)f(x)．
取x=－1，則有A=－1．因此，
(x＋1)f(x)＝9x3－24x2＋48x＋(x－2)4
＝x4＋x3＋16x＋16，
設x－2＝y，於是x＝y＋2，因此，
於是
解 因為x4＋1＝(x2＋1)2－2x2
兩端的對應項的係數，可得
由這四個等式組成的方程組可解得
於是
解 因為x2－x＋1與x2＋1在實數域上都是二次質因式，於是設
如果x2＋1＝0，由上述x2的表達式可得E＝－1，F=0．
如果x2－x＋1＝0，則可得A＝0，B＝1，於是有
x2＝(x2＋1)2＋(Cx＋D)(x2－x＋1)(x2＋1)＋(－x)(x2－x＋1)，
即 －x4＋x3－2x2＋x－1=(Cx＋D)(x2－x＋1)(x2＋1)，
比較這個恆等式兩端的常數項及x5項的係數，可得
C=0，D＝1．
將A，B，C，D，E，F的值代入所設的等式，得
