哈密頓
Hamilton，William Rowan
（1805～1865）英國數學家，物理學家1805年8月3日（一說4日）生於愛爾蘭都柏林，1865年9月2日卒於都柏林附近的敦辛克天文台。1823年考入都柏林的三一學院，1827年聘任為三一學院的天文學教授，同時獲得了愛爾蘭皇家天文學家的稱號。1827年定居在都柏林附近的敦辛克天文台，從此潛心鑽研數理科學 。1835年獲得爵位。1837年被選為愛爾蘭皇家科學院院長。他還是英國皇家學會會員、法國科學院院士和彼得堡科學院通訊院士。
哈密頓於1827年建立了光學的數學理論 。後來又把這種理論移植到動力學中去，提出哈密頓原理，把廣義坐標和廣義動量作為典型變數來建立動力學方程，推動了變分法和微分方程理論的進一步研究，並在現代理論物理中得到了廣泛的套用。
哈密頓在數學上的主要貢獻是發現了“四元數”，並建立了四元數的運算法則。四元數的發現為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎，而四元數系又構成了以實數域為係數域的有限維可除代數。因此，四元數的產生對代數學的發展具有十分重要的意義。
哈密頓生平
哈密頓自幼喜歡算術，計算很快．1818年遇到美國“計算神童”Z．科耳本(Colburn)後對數學產生了更深厚的興趣．1820年再相逢時，哈密頓已閱讀了I．牛頓(Newton)的《自然哲學的數學原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，並對天文學有強烈愛好，常用自己的望遠鏡觀測天體；還開始讀P．S．拉普拉斯(Laplace)著作《天體力學》(Mécanique cé1este)，1822年指出了此書中的一個錯誤．同年開始進行科學研究工作，對曲線和曲面的性質進行了系列研究，並用於幾何光學．他的報告送交愛爾蘭科學院後，R．J．布林克萊(Brinkley)院士評論說：“這位年輕人現在是這個年齡(17歲)的第一數學家。”
1823年7月7日，哈密頓以入學考試第一名的成績進入著名的三一學院，得到正規的大學訓練，後因成績優異而多次獲得學院的古典文學和科學的最高榮譽獎．他在1823到1824年間完成了多篇有關幾何學和光學的論文，其中在1924年12月送交愛爾蘭皇家科學院會議的有關焦散曲線(caustics)的論文，引起科學界的重視．
1827年6月10日，年僅22歲的哈密頓被任命為敦辛克天文台的皇家天文研究員和三一學院的天文學教
哈密頓
哈密頓有兄弟姐妹八人，家庭負擔很重；為減輕父親經濟壓力，他畢業後帶著三個妹妹住到敦辛克天文台．哈密頓不擅長天文觀測，在天文台工作的五年中，仍主要從事理論研究；但因與外界很少聯繫，工作成果並未引起重視。
1832年，哈密頓成為愛爾蘭皇家科學院院士後非常活躍，與學術界人士廣泛交流討論，包括一些詩人和哲學家．他從S．T．科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到I．康德(Kant)的哲學，熱情地讀完康德主要著作《純理性批判》(Kritik der Reinen Vernunft)．康德哲學觀點對哈密頓後期的工作有很大影響。
1834年，哈密頓發表了歷史性論文“一種動力學的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成為動力學發展過程中的新里程碑．文中的觀點主要是從光學研究中抽象出來的。
在對複數長期研究的基礎上，哈密頓在1843年正式提出了四元數(quaternion)，這是代數學中一項重要成果。
由於哈密頓的學術成就和聲望，1835年在都柏林召開的不列顛科學進步協會上被選為主席，同年被授予爵士頭銜．1836年，皇家學會因他在光學上的成就而授予皇家獎章．1837年，哈密頓被任命為愛爾蘭皇家科學院院長，直到1845年．1863年，新成立的美國科學院任命哈密頓為14個國外院士之一。
哈密頓的成就
哈密頓工作勤奮，思想活躍．發表的論文一般都很簡潔，別人不易讀懂，但手稿卻很詳細，因而很多成果都由後人整理而得．僅在三一學院圖書館中的哈密頓手稿，就有250本筆記及大量學術通信和未發表論文．愛爾蘭國家圖書館還有一部分手稿．
他的研究工作涉及不少領域，成果最大的是光學、力學和四元數．他研究的光學是幾何光學，具有數學性質；力學則是列出動力學方程及求解；因此哈密頓主要是數學家．但在科學史中影響最大的卻是他對力學的貢獻．哈密頓量是現代物理最重要的量，當我們得到哈密頓量，就意味著得到了全部。
哈密頓原理
它指出，受理想約束的保守力學系統從時刻t1的某一位形轉移到時刻t2的另一位形的一切可能的運動中，實際發生的運動使系統的拉格朗日函式在該時間區間上的定積分取駐值，大多取極小值。由哈密頓原理可以導出拉格朗日方程。哈密頓原理不但數學形式緊湊，且適用範圍廣泛。如替換L的內容，就可擴充用於電動力學和相對論力學。此外，也可通過變分的近似算法，用哈密頓原理直接求解力學問題。
這涉及到變分法，就算你上了大學，不是數學系也很難學到的啊，上面的兩種符號都是變分算符，其中三角的那個是全變分，那個積分表示的是泛函，它的變分等於0，指的是泛函取得極值，其實變分就相當於微分。但你要注意什麼是泛函，它的自變數是一類函式，而因變數是一個數值。它取極值時就對應了一個使它取極值的函式，這就是它（哈密頓原理）為什麼可以決定運動！說它是力學最高原理是絕對沒錯的，任何力學定律都可以由它導出，包括牛二定律！
哈密頓力學
哈密爾頓力學是哈密爾頓於1833年建立的經典力學的重新表述。它由拉格朗日力學演變而來，那是經典力學的另一表述，由拉格朗日於1788年建立。但它可以使用辛空間不依賴於拉格朗日力學表述。關於這點請參看其數學表述。
適合用哈密頓力學表述的動力系統稱為哈密頓系統。
哈密頓系統可以理解為時間R上的一個纖維叢E,其纖維Et, t ∈ R是位置空間。拉格朗日量則是E上的jet叢(射流叢)J上的函式；取拉格朗日量的纖維內的勒讓德變換就產生了一個時間上的對偶叢的函式，其在t的纖維是餘切空間T*Et，它有一個自然的辛形式，而這個函式就是哈密頓量。
任何辛流形上的光滑實值函式H可以用來定義一個哈密頓系統。函式H稱為哈密頓量或者能量函式。該辛流形則稱為相空間。哈密頓量在辛流形上導出一個特殊的向量場，稱為辛向量場。
該辛向量場，稱為哈密頓向量場，導出一個流形上的哈密頓流。該向量場的一個積分曲線是一個流形的變換的單參數族；該曲線的參數通常稱為時間。該時間的演變由辛同胚給出。根據劉維爾定理每個辛同胚保持相空間的體積形式不變。由哈密頓流到處的辛同胚的族通常稱為哈密頓系統的哈密頓力學。
哈密頓向量場也導出一個特殊的操作，泊松括弧。泊松括弧作用於辛流形上的函式，給了流形上的函式空間一個李代數的結構。
當余度量是退化的時，它不是可逆的。在這個情況下，這不是一個黎曼流形，因為它沒有一個度量。但是，哈密頓量依然存在。這個情況下，在流形Q的每一點q余度量是退化的，因此余度量的階小於流行Q的維度，因而是一個亞黎曼流形。
這種情況下的哈密頓量稱為亞黎曼哈密頓量。每個這樣的哈密頓量唯一的決定余度量，反過來也是一樣。這意味著每個亞黎曼流形由其亞黎曼哈密頓量唯一的決定，而其逆命題也為真：每個亞黎曼流形有唯一的亞黎曼哈密頓量。亞黎曼測地線的存在性由Chow-Rashevskii定理給出。
哈密爾頓系統可以幾種方式推廣。如果不僅簡單的利用辛流形上的光滑函式的結合代數，哈密爾頓系統可以用更一般的交換酉實泊松代數表述。一個狀態是一個（裝備了恰當的拓撲結構的）泊松代數上的連續線形泛函，使得對於代數中的每個元素A，A2映射到非負實數。
進一步的推廣由Nambu動力學給出。
