定義
哈密頓向量場
哈密頓向量場假設 ( M,ω) 是一個辛流形。因為辛形式ω 非退化，誘導了切叢與餘切叢 的一個線性同構
哈密頓向量場以及逆
哈密頓向量場
哈密頓向量場從而，流形 M上的1-形式可以與向量場等價起來，故任何可微函式 確定了惟一的向量場 X= Ω(d H)，稱為 哈密頓函式 H的 哈密頓向量場。 即對 M上任何向量場 Y，等式
哈密頓向量場一定成立。
注：一些作者定義哈密頓向量場為相反的符號；需注意物理與數學著作的不同習慣。
例子
假設 M是一個 2 n維辛流形。則由達布定理，我們在局部總可以取 M的一個典範坐標
哈密頓向量場在這個坐標系下辛形式表示為
哈密頓向量場則關於哈密頓函式 H的哈密頓向量場具有形式
哈密頓向量場這裡 Ω 是一個 2 n× 2 n矩陣
哈密頓向量場性質
哈密頓向量場映射 線性的，所以兩個哈密頓函式之和變為相應的 哈密頓向量場之和。
哈密頓向量場
哈密頓向量場假設 是 M上的典範坐標。則曲線 是哈密頓向量場 X的積分曲線若且唯若它是哈密頓方程的一個解：
哈密頓向量場
哈密頓向量場哈密頓函式 H在積分曲線上是常數，這就是 與時間 t無關。這個性質對應於哈密頓力學中的能量守恆。
更一般地，如果兩個函式 F與 H的泊松括弧為零（見下），則 F沿著 H的積分曲線為常數；類似地 H沿著 F的積分曲線是常數。這個事實是諾特定理背後的數學原理。
哈密頓向量場辛形式 在哈密頓流下不變；或等價地，李導數
哈密頓向量場
哈密頓向量場這裡 是內乘，用到了李導數的嘉當公式。
泊松括弧
哈密頓向量場的概念導致了辛流形 M上的可微函式的一個斜對稱雙線性運算元，這就是 泊松括弧，由如下公式定義
哈密頓向量場
哈密頓向量場這裡 表示沿著向量場 X的李導數。此外，我們可以驗證有恆等式：
哈密頓向量場這裡右邊表示哈密頓函式 g與 g對應的哈密頓向量場的李括弧。作為一個推論，泊松括弧滿足雅可比恆等式。
哈密頓向量場 哈密頓向量場這意味著 M上可微函式組成的向量空間，賦予泊松括弧，是 R上的一個李代數，且映射是一個李代數反同態，其核由局部常值函式組成（如果 M連通則為常數）。
