命題與量詞

（1）要判斷句子是否是命題。 1、全稱量詞與全稱命題。 2、存在量詞與存在性命題。

（一）命題
1、命題的定義：能判斷真假的語句叫做命題，其實質是可判斷真假的陳述句。例如：（1）所有無理數都是實數；（2）函式y=2x 1是單調增函式；（3）空間內垂直於同一條直線的兩條直線平行。這些語句都可以判斷真假，所以都是命題，其中（1）、（2）是真命題，（3）是假命題。
幾點說明：
（1）要判斷句子是否是命題。首先，要看給出的句子的句型，一般地，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題．其次，要看能不能判斷其真假，也就是判斷其是否成立。不能判斷真假的語句，就不能叫命題。例如“這是一棵大樹”、“ < 1252572824"> ”是否成立。值得注意的是，在數學或其他科學技術中的一些猜想仍是命題。例如著名的哥德巴赫猜想，雖然目前還不能確定這些語句的真假，但是隨著科學技術的發展和時間的推移，總能確定它們的真假，所以人們把這一類猜想仍算為命題。
（2）還有一種語句，如“x>5”、“x2－1=0”等，語句中含有變數x或y，在沒有給定這些變數的值之前，是無法確定語句的真假的。這種含有變數的語句叫做開語句（條件命題）。開語句不是命題。
2、一個命題，一般可用一個小寫英文字母表示，如：p，q，r，…
3、判斷為正確的命題叫做真命題，判斷為不正確的命題叫做假命題
（二）量詞：
1、全稱量詞與全稱命題。在數學中經常會見到一些含有變數x的語句，如x2-1=0,5x-1是整數等，可用符號p（x）、q（x）……表示，由於不知道x代表什麼數，無法判斷它們的真假，因而不是命題，然而，當賦予變數x某個值或一定條件時，這些含有變數的語句又可以變成可判定真假的語句，從而成為命題.例如p（x）：x2-1=0，不是命題，但如果加上“對所有整數x”的條件，又可以得到p：對所有整數x，x2-1=0,這是一個假命題。
這裡的短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，含有全稱量詞的命題叫做全稱命題。全稱量詞通常用符號“ ”表示。
一般地，設p（x）是某集合M的所有元素都具有的性質，那么全稱命題就可以記作：
。
說明：
1.（1）與“所有”等價的說法有：“一切”“每一個”“任一個”等。由於自然語言的不同，同一個全稱命題可以有不同的表述方法。注意：有時省去全稱量詞，仍為全稱命題。例如：“正方形都是矩形”，省去了全稱量詞“所有”。因此，要結合具體問題做出正確的判斷。（2）判斷一個全稱命題為真命題，必須對限定集合中的每一個元素x驗證p（x）成立，一般用代數推理給出證明。如果一個全稱命題為真命題，那么給出的限定集合中的每一個元素x都具有性質p（x）。如果判斷全稱命題是假命題，只要存在一個x0 不滿足p（x）就可以了。
2、存在量詞與存在性命題。短語“有一個”、“有些”、“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“ ，讀作“p且q”。