周期函式函式性質
（1）若T（≠0）是f(X)的周期，則-T也是f(X)的周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，則nT（n為任意非零整數）也是f(X)的周期。
（3）若T1與T2都是f(X)的周期，則T1±T2也是f(X)的周期。
（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整數倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分別是f(X)的兩個周期，則 （Q是有理數集）
（6）若T1、T2是f(X)的兩個周期，且 是無理數，則f(X)不存在最小正周期。
（7）周期函式f(X)的定義域M必定是雙方無界的集合。
定義
在數學中，周期函式是無論任何獨立變數上經過一個確定的周期之後數值皆能重複的函式。我們日常所見的鐘表指針以及月亮的月相都呈現出周期性的特點。周期性運動是系統的運動位置呈現周期性的運動。
對於實數或者整數函式來說，周期性意味著按照一定的間隔重複一個特定部分就可以繪製出完整的函式圖。如果在函式 f 中所有的位置 x 都滿足
f(x + P) = f(x)
那么，f 就是周期為 P 的周期函式。非周期函式就是沒有類似周期 P 的函式。
如果周期函式 f 的周期為 P，那么對於 f 中的任意 x 以及任意整數 n，有
f( x + Pn ) = f ( x )
在上面的例子中，P 是 1， f( x ) = f( x + 1 ) = f( x + 2 ) = ...。但是函式周期不一定是滿足上述等式的最小值，P 也可以是 2。
f(x) = sin(x) 與 f(x) = cos(x) 的圖，二者的周期都是 2Pi。一個簡單的例子是 f 的分數變數：
f( 0.5 ) = f( 1.5 ) = f( 2.5 ) = ... = 0.5.
其中有一些例子是鋸齒波、方波以及三角形波。
三角函式，正弦函式，餘弦函式都是常見的周期函式，其周期為 2π。傅立葉級數研究的就將任意的周期函式用合適的三角函式的和來表示。
複數函式可能會有兩個不相稱的周期，橢圓函式就是類似的函式。
判定定理
周期函式定理，總結一共分一下幾個類型。
定理1
若f(X）是在集M上以T*為最小正周期的周期函式，則Kf(X)+C（K≠0）和1/f(X）分別是集M和集{X/f(X)≠0，X∈M}上的以T*為最小正周期的周期函式。[2]
證：
∵T*是f(X）的周期，∴對有X±T*且f(X+T*)=f(X），∴Kf(X)+C=Kf(X+T*)+C，
∴Kf(X)+C也是M上以T*為周期的周期函式。
假設T*不是Kf(X)+C的最小正周期，則必存在T’（0<T’<T*）是Kf(X)+C的周期，則對，
有Kf(X+T’）+C=Kf(X)+CK[f(X+T’）-f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’）-f(X)=0，∴f(X+T’）=f(X），
∴T’是f(X）的周期，與T*是f(X）的最小正周期矛盾，∴T*也是Kf(X)+C的最小正周期。
同理可證1/f(X）是集{X/f(X)≠0，X}上的以T*為最小正周期的周期函式。
定理2
若f(X）是集M上以T*為最小正周期的周期函式，則f(aX+n）是集{X/aX+n}上的以T*/a為最小正周期的周期函式，（其中a、b為常數）。
證：
先證是f(ax+b）的周期
∵T*是f(X）的周期，∴，有X±T*∈M，∴a（X）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+T）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴是f（ax+b）的周期。
再證是f（ax+b）的最小正周期
假設存在T’（0<T’<；）是f（ax+b）的周期，
則f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），
因當X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各數時,ax+b就取遍M所有的各數，
∴aT’是f(X）的周期，但<=T*這與T*是f(X）的最小正周期矛盾。
定理3
設f(u）是定義在集M上的函式，u=g（x）是集M1上的周期函式，且當X∈M1時，g(x）∈M，則複合函式f(g(x））是M1上的周期函式。
證：
設T是u=g(x）的周期，則1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x)∴f(g(x+T))=f(g(x))
∴=f(g(x)）是M1上的周期函式。
例1
設=f(u)=u2是非周期函式，u=g(X)=cosx是實數集R上的周期函式，則f(g(x))=cos2x是R上的周期函式。
同理可得：⑴f(X)=Sin(cosx），⑵f(X)=Sin(tgx），⑶f(X)=Sin2x，⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0）也都是周期函式。
例2
f(n)=Sinn是周期函式，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函式，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函式（中學數學中已證）。
例3
f(n)=cosn是周期函式，n=g(x)=（非周期函式）而f(g(x))=cos是非周期函式。
證：假設cos是周期函式，則存在T>0使cos（k∈Z）與定義中T是與X無關的常數矛盾，
∴cos不是周期函式。
由例2、例3說明，若f(u)是周期函式，u=g(X）是非周期函式，這時f(g(x））可能是，也可能不是周期函式。
定理4
設f1(X）、f2(X）都是集合M上的周期函式，T1、T2分別是它們的周期，若T1/T2∈Q則它們的和差與積也是M上的周期函式，T1與T2的公倍數為它們的周期。
證：
設（（p·q)=1）設T=T1q=T2p則有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T)±f2（x+T）=f1(x+T1q)±f2（x+T2p）=f1(X）±f2(X)∴f1(X)±f2(X）是以T1和T2的公倍數T為周期的周期函式。同理可證：f1(X)、f2(X）是以T為周期的周期函式。
定理4推論
設f1(X)、f2(X）……fn(X)是集M上的有限個周期函式T1、T2……Tn分別是它們的周期，若，…（或T1，T2……Tn中任意兩個之比）都是有理數，則此n個函式之和、差、積也是M上的周期函式。
例4
f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最低公倍數2π為周期的周期函式。
例5
討論f(X)=的周期性
解：2tg3是以T1=為最小正周期的周期函式。
5tg是以T2為最小正周期的周期函式。
tg2是以T3=為最小正周期的周期函式。
又都是有理數
∴f(X）是以T1、T2、T3最低公倍數（T1、T2、T3）=為最小正周期的周期函式。
同理可證：
⑴f(X)=cos;
⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函式。
定理5
設f1(x)=sina1x，f2(x)=cosa2x，則f1(x）與f2(x）之和、差、積是周期函式的充要條件是a1/a2∈Q。
證
先證充分性：
若a1/a2∈Q，設T1、T2分別為f1(x）與f2(x）的最小正周期，則T1=、T2=，又∈Q
由定理4可得f1(x）與f2(x）之和、差、積是周期函式。
再證必要性（僅就f1(x）與f2(x）的差和積加以證明）。
⑴設sina1x-cosa2x為周期函式，則必存在常數T>0，
使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x2cos(a1x+)sin=-2sins(a2x+)sin⑴。
令x=得2cos（a1x+），則（K∈Z）。⑵
或C∈Z⑶
又在⑴中令2sin（a2x+）sin=-2sin=0
由⑷
由sin⑸
由上述⑵與⑶，⑷與⑸都分別至少有一個成立。
由⑶、（5得）⑹
∴無論⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。
⑵設sinaxcosa2x為周期函式，則是周期函式。
判定方法
[2]⑴若f(X）的定義域有界
例：f(X)=cosx（≤10）不是周期函式。
⑵根據定義討論函式的周期性可知非零實數T在關係式f(X+T)=f(X）中是與X無關的，故討論時可通過解關於T的方程f(X+T)-f(X)=0，若能解出與X無關的非零常數T便可斷定函式f(X）是周期函式，若這樣的T不存在則f(X）為非周期函式。
例：f(X)=cosx是非周期函式。
⑶一般用反證法證明。（若f(X）是周期函式，推出矛盾，從而得出f(X）是非周期函式）。
例：證f(X)=ax+b(a≠0）是非周期函式。
證：假設f(X)=ax+b是周期函式，則存在T（≠0），使對，a（x+T）+b=ax+bax+aT-ax=0aT=0又a≠0，∴T=0與T≠0矛盾，∴f(X）是非周期函式。
例：證f(X)=是非周期函式。
證：假設f(X）是周期函式，則必存在T（≠0）對，有（x+T)=f(X），當x=0時，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T)≠f(X）與f(x+T)=f(X）矛盾，∴f(X）是非周期函式。
例：證f(X)=sinx2是非周期函式
證：若f(X)=sinx2是周期函式，則存在T（>0），使對，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X=T有sin(T+T)2=sin（T）2=sin2kπ=0，∴（+1）2
T2=Lπ（L∈Z+），∴
與3+2是無理數矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函式。
