丟番圖逼近
正文
數論的一個分支,以研究數的有理逼近問題為主。這裡所謂的數是指實數、複數、代數數或超越數。數的有理逼近問題，可表為求某種不等式的整數解問題。由於在整數範圍求解的方程稱為不定方程或丟番圖方程，因而把求不等式的整數解問題稱之為丟番圖逼近。1842年，P.G.L.狄利克雷首先證明了實數有理逼近的一個結果:如果α是任意實數,Q是大於1的實數,那么存在整數對p、q，滿足兩個不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。由此可得，如果α是任意無理數,那么存在無窮多對互素的整數對p、q，滿足不等式｜α-p/q｜<q-2。當α是有理數時，上式不成立
。
1891年，A.胡爾維茨將上式改進為
並指出,對於某些無理數,常數
是最佳值，不可再減小。但是對於很多無理數，常數不是最佳值，還可再減小。1926年，A.Я.辛欽證明了：在勒貝格測度意義下對幾乎所有的實數α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整數解p、q有無窮多對還是只有有窮多對,由級數
是發散的還是收斂的而定，這裡 ψ(q)(q>0)是正的非增函式。此即所謂丟番圖逼近測度定理。例如，對幾乎所有的實數 α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜<q
只有有窮多對整數解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(ln q)-1有無窮多對整數解。 丟番圖逼近與連分數有密切聯繫。一個數的連分數展開，往往就是具體構造有理逼近解的過程。例如，對於任意無理數α，有無窮多個漸近分數pn/qn,滿足不等式
1844年，J.劉維爾開創了實代數數的有理逼近的研究，他證明了：如果α是次數為d的實代數數，那么存在一個常數C（α）>0，對於每個不等於α的有理數p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/qd。亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有窮多個解p/q。根據這一結果，劉維爾構造出了歷史上的第一個超越數
。以後一些數學家不斷改進指數μ 的值，直到得出μ 與 d無關的結果。1909年，A.圖埃得到μ >1+d/2。1921年，C.L.西格爾得到
。1947年至1948年間,F.戴森和A.O.蓋爾豐德各自獨立證明了
。1955年,K.F.羅特得到了μ與d無關的一個結論：如果α是實代數數,其次數 d≥2,那么對於任意的δ>0，不等式
只有有窮多個解。這一結論又稱為圖埃-西格爾-羅特定理。 對於一組數的有理逼近問題，稱之為聯立丟番圖逼近。狄利克雷關於聯立逼近有如下論斷：如果α1,…,αn是n個實數,Q>1是整數，那么存在一組整數q,p1,…,pn滿足不等式組
進而，如果α1,…,αn中至少有一個無理數，那么存在無窮多組解(p1/q,…,pn/q)，適合不等式組 
成立。式中記號‖x‖表示x與最近整數的距離。這一結果的一個等價表達方式：對於上述的實數α1,…,αn及任意的δ>0，只有有限多組非零整數q1,…,qn適合 
。
只有有限多組整數解p,q1,…,qn。 用代數數逼近代數數，也是丟番圖逼近的一類重要內容。W.M.施密特所著《丟番圖逼近》（1980）一書中，有詳細的論述。
自20世紀以來，丟番圖逼近除自身的發展外，在超越數論、丟番圖方程等方面都有重要的套用。
參考書目
J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957.
