一個群被稱為可解的，若它擁有一個其商群皆為阿貝爾群的正規列。或者等價地說，若其降正規列
G▷G(1)▷G(2)▷▪▪▪▪▪▪▪▪▪▪
之中，每一個子群都會是前一個的導群，且最後一個為G的當然子群{1}。上述兩個定義是等價的，對一個群H及H的正規子群N，其商群H/N為可交換的若且唯若N包含著H(1)。
對於有限群，有一個等價的定義為：一可解群為一有著其商群皆為質數目的循環群之合成列的群。此一定義會等價是因為每一個簡單阿貝爾群都是有質數目的循環群。若爾當-赫爾德定理表示若一個合成列有此性質，則其循環群即會對應到某個體上的n個根。但此一定義的等價性並不必然於無限群中亦會成立：例如，因為每一個在加法下的整數群Z的非當然子群皆同構於Z本身，它不會有合成列，但是其有著唯一同構於Z的商群之正規列{0,Z}，證明了其確實是可解的。
和喬治・波里亞的格言“若有一個你無法算出的問題，則會有的你可以算出的較簡單的問題”相一致的，可解群通常在簡化有關一複雜的群的推測至一系列有著簡單結構－阿貝爾群的群的推測有著很有用的功用。
例子
所有的阿貝爾群都是可解的－其商群A/B總會是可交換的，若A為可交換的。但非阿貝爾群則不一定都是可解的。
更一般地，所有冪零群都是可解的。特別地是，所有的有限p-群都是可解的，因為所有的有限p-群都會是冪零的。
可解但不為冪零的群的一個小例子為對稱群S3。實際上，當最小的簡單非可貝爾群為A5(5度的交錯群)時，它允許每一個目小於60的群皆為可解的。
群S5不是可解的－它有一合成列{E,A5,S5}(且若爾當-赫爾德定理表示每個其他的合成列都會等價於此一合成列)，給出了同構於A5及C2的商群；而A5為非可換的。廣義化此一論述，結合An在n > 4時為Sn的正規、最大且非阿貝爾簡單子群的事實，可知n > 4的所有Sn皆不可解，此亦為證明每一個n > 4的n次多項式都不可以以方根得解的關鍵步驟。
著名的范特-湯普遜定理敘述著，每一個奇數目的有限群皆是可解的。特別地是，此定理表示，若一有限群為簡單的，其必為質數循環或有偶數目。
性質
可解性的性質在某一意義上是可繼承的，如下：
若G為可解的，且H為G的子群，則H也是可解的。
若G是可解的，且H為G的正規子群，則G/H也是可解的。
若G是可解的，且存在一G滿射至H的同態，則H也是可解的。
若H及G/H為可解的，則G也是可解的。
若G及H為可解的，則其直積G × H也是可解的。
超可解群
做為可解性的加強版，一個群G被稱為超可解的，若它有一其商群皆為循環群的不變正規列；換句話說，if it is solvable with each Ai also being a normal subgroup of G，且每個Ai+1/Ai都不只是可交換而已，且也是循環的(可能為無限目)。因為一正規列在定義中有有限的長度，所以不可數阿貝爾群不會是超可解的。實際上，所有的超可解群皆為有限產生群，且一個阿貝爾群為超可解的若且唯若其為有限產生的。
若限制在有限產生群中，將可以有下列的排序：
循環群 < 阿貝爾群 < 冪零群 < 超可解群 < 多重循環群 < 可解群 < 有限生成群
S5不可解性證明
證 若S5是可解的，則存在正規子群N使S5/N可交換。設f為S5到S5/N的自然同態，考察三項循環（a，b，c）∈S5，再取另兩元d，e。令x=（d，b，a），y=（a，e，c）。x^-1y^-1xy的f像為x‘^-1y'^-1x'y'∈S5/N，由S5/N可交換知x‘^-1y'^-1x'y'=1，即有x^-1y^-1xy=（a，b，c）∈N。故N包含所有三輪換，同理其正規群列均包含三輪換，所以不可能結束於1。（此證明事實上也給出了5次以上的證明）
