定義
若—個群G的每—個元都是G的某—個固定元a的乘方，則稱G為循環群，記作G=(a)={a |m∈Z}，a稱為G的—個生成元。
特別地，如果G的代數運算採用加號表示時，則有 (a)={ma | m∈Z}
性質
定理1
設(a)是—個循環群，
(1)若|a|=∞，則(a)與整數加群Z同構；
(2)若IaI=n，則(a)與模n的剩餘類加群Z同構。
證(1)|a|=∞，則當m≠n時，
a ≠a ，(a)={…，a ，a ，e，a ，a ，…}.
於是令 φ：(a)→Z，a →m可以證明這是循環群(a)到整數加群Z的一個雙射，且
φ(a ·a )=φ(a )=m+n=φ(a )+φ(a )，
故φ是(a)到Z的一個同構映射，所以(a)≌Z.
(2)設IaI=n，則(a)={e，a，a ，…，a }
令 σ：(a)→Z，a →[m].
若有m，m′∈Z，m′>m使得a =a ，則a =e，而a =e，所以n | m'-m，即m'=m(mod n)，因此[m′]=[m]，故σ是(a)到Z的—個映射.
又∀[0]≤[k]≤[n-1]，有a ∈(a)，使得[k]=σ(a )，且若a ≠a ，則σ(a )≠σ(a )，同時∀a 、a ∈(a)，
σ(a ·a )=σ(a )
=[m+m′]=[m]+[m′]
=σ(a )+σ(a )，
所以σ是(a)到Z的一個同構映射，即(a)≌Z
由於群之間的同構關係具有反身性、對稱性和傳遞性，故這個定理告訴我們，凡無限循環群都彼此同構，凡有限同階循環群都彼此同構，而不同階的群，由於不能建立雙射，當然不能同構。這樣抽象地看，即在同構意義下，循環群只有兩種，即整數加群和模n的剩餘類加群.
定理2
有且僅有兩個元1和-1可以作為整數加群Z的生成元，且在Z中除零元外，每個元的階都是無限的.
證 已證1和-1可以作為整數加群Z的生成元，如果另有k是生成元，則(k)=(1)=Z，這時由1∈(k)={km,m∈Z}，即存在m∈Z，使1=km，於是k=m=±1，所以只有兩個元1與-1可以作為整數加群Z的生成元。
若k∈Z，k≠0，則∀m，n∈Z，m≠n，有mk≠nk，所以IkI=∞
說明，有且僅有兩個元a與a 可以作為無限循環群(a)的生成元，在無限循環群(a)中除單位元的階是1以外，其餘元的階都是無限的.
定理3
在模n的剩餘類Z中，有
(1)|[k]|=n/(k,n)
(2)[k]是Z的生成元<=>(k，n)=1.
證 (1)由定理可得.
(2)若[k]∈Z，則([k])⊆Z由(1)與(k，n)=1知|[k]|=n，所以|([k])|=n，Z=([k])
反之，設[k]是Z的生成元，有([k])=Z，所以|([k])|=n，由(1)知(k，n)=1.
此定理說明|(a)| =n時，(a )=(a)<=>(k，n)=1。
