研究歷程
1824年，阿貝爾證明了五次或五次以上的代數方程沒有一般的用根式求解的公式．該證明寫進了“論代數方所謂方程有根式解(代數可解)，就是這個方程的解可由該方程的係數經過有限次加減乘除以及開整數次方等運算表示出來．關於代數方程的求解，從16世紀前半葉起，已成為代數學的首要問題，一般的三次和四次方程解法被義大利的幾位數學家解決．在以後的幾百年里，代數學家們主要致力於求解五次乃至更高次數的方程，但是一直沒有成功．對於方程論，拉格朗日比較系統地研究了方程根的性質(1770)，正確指出方程根的排列與置換理論是解代數方程的關鍵所在，從而實現了代數思維方式的轉變．儘管拉格朗日沒能徹底解決高次方程的求解問題，但是他的思維方法卻給後人以啟示．P．魯菲尼(Ruffini)於1799年首次證明了高於四次的一般方程的不可解性，但其“證明” 存有缺陷．兩年以後，高斯解決了分圓方程的可解性理論問題．拉格朗日和高斯的工作是阿貝爾研究工作的出發點．中學時，他就讀過拉格朗日關於方程論的著作；大學一年級開始全面研究高斯的《算術研究》(Disquis-tiones arithmeticae)．後來，他又了解了柯西關於置換理論方面的成果．然而，他當時並不曉得魯菲尼的工作．阿貝爾就是在這種背景下思考代數方程可解性理論問題的．1824年，阿貝爾首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正確證明．更詳細的證明，於1826年發表在克雷爾雜誌第一期上．題目為“高於四次的一般方程的代數解法不可能性的證明”．在這篇論文中，阿貝爾討論並修正了魯菲尼論證中的缺陷．魯菲尼的“證明”缺乏域的概念，所以不可能在由已知方程的係數所確定的基礎域及域的擴張下進行工作．另外，魯菲尼“證明”中還用到了一個未加證明的關鍵性命題，後稱阿貝爾定理．該定理說，如果一個代數方程能用根式求解，則出現在根的表達式中的每個根式，一定可以表成方程諸根及某些單位根的有理函式．阿貝爾就是套用這個定理證明高於四次的一般方程不能有根式解的．
上面所說的阿貝爾定理，也就是“置換群”的思想。
他在進一步思考哪些方程（比如x^n-1=0)才可用根式解的問題的時候，阿貝爾證明了下述定理：對於一個任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的一個根有理地表出(我們用x表示)，並且任意兩個根Q(x)與Q1(x)(這裡Q，Q1均為有理函式)，滿足關係QQ1(x)=Q1Q(x)，那么所考慮的方程總是代數可解的．或者說，根xi=Q1(Xi)，Q2(Xi)，…，Qn(Xi)是根x1，x2，…，xn的一個置換．方程根進行這樣置換的個數是n．阿貝爾考慮並證明了這些置換的性質，這就是“置換群”。
阿貝爾遺作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿，即“關於函式的代數解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions，1839)．文中敘述了方程論的發展狀況，重新討論了特殊方程可解性的問題，為後來E·伽羅瓦(Galois)遺作的出版開闢了道路．在前言部分，阿貝爾暗示出一種重要的思維方法，他認為解方程之前，應首先證明其解的存在性，這樣可使整個過程避免“計算的複雜性”．在代數方程可解性理論研究中，他還提出了一個研究綱領，就是在他的工作中需要解決兩類問題：一是構造任意次數的代數可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他試圖全部刻畫可用根式求解的方程的特性．但因早逝而沒能完成這個工作，他只解決了第一類問題．幾年後，伽羅瓦接過他的工作，用群的方法徹底解決了代數方程的可解性理論問題，從而建立了現在所謂的伽羅瓦理論．
19世紀之前的300年間，數學家們一直為證明一元四次以上的方程是否有解而忙碌著，可惜他們不是望而卻步，就是半途而廢，沒有一位能揭開這個結。1818年，挪威一位16歲的阿爾貝，在研究了前人的有關這一問題的大量資料後，堅定地對他的老師說：“讓我來解答這一歷史難題吧，我能證明四次以上的方程是否有解。”他憑著自信，聰明和勤奮，花了六年的時間，給了歷史一個圓滿的回答：一般高於四次的方程沒有代數解。這就是著名的阿爾貝—魯菲尼定理。
人物簡介
十三歲時，阿貝爾和哥哥被送到克里斯蒂安尼亞(即後來的奧斯陸)市的天主教學校靠一點獎學金讀書。在最初的兩年，他們兄弟的成績還不錯可是後來教師枯燥的教學方式，高壓的手法，使得他們兄弟的成績下降了。1817年是阿貝爾一生的轉折點。當時給他教數學的老師是一個好酒如命又脾氣粗暴的傢伙，後因體罰而致死一名學生被解職，並由一位比阿貝爾大七歲的年青的教師霍姆伯厄代替。霍姆伯厄本身在數學上沒有什麼成就，是一個稱職但決不是很有才氣的數學家。他在科學上的貢獻，就是發掘了阿貝爾的數學才能，而且成為他的忠誠朋友，給他許多幫助。阿貝爾死後，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。
霍姆伯厄很快就發現了十六歲的阿貝爾驚人的數學天賦，私下開始給他教授高等數學，還介紹他閱讀泊松、高斯以及拉格朗日的著作。在他的熱心指點下，阿貝爾很快掌握了經典著作中最難懂的部分。
在中學的最後一年，阿貝爾開始試圖解決困擾了數學界幾百年的五次方程問題，不久便認為得到了答案。霍姆伯厄將阿貝爾的研究手稿寄給丹麥當時最著名的數學家達根。達根教授看不出阿貝爾的論證有甚么錯誤的地方，但他知道這個許多大數學家都解決不出的問題不會這么簡單的解決出來，於是給了阿貝爾一些可貴的忠告，希望他再仔細演算自己的推導過程。就在同時，阿貝爾也發現了自己推理中的缺陷。這次失敗給他一個非常有益的打擊，把他推上了正確的途徑，使他懷疑一個代數解是否可能。後來他終於證明了五次方程不可解，而那已經是他十九歲時的事情了。1822年6月，阿貝爾靠著霍姆伯厄和其他教授們的幫助，在克里斯蒂安尼亞大學念完了必須的課程，那時大學和城裡人人都知道他是一個了不起的數學天才。可他的父親已於兩年前去世，家裡一貧如洗，沒錢繼續從事數學研究。他的老師和朋友們也很窮，無法再拿出更多的錢資助他去當時世界數學的中心巴黎深造。
1823年夏，教天文學的拉斯穆辛教授給阿貝爾一筆錢去哥本哈根見達根，希望他能在外面見識和擴大眼界。從丹麥回來後阿貝爾重新考慮一元五次方程解的問題，總算正確解決了這個幾百年來的難題：即五次方程不存在代數解。後來數學上把這個結果稱為阿貝爾-魯芬尼定理。阿貝爾認為這結果很重要，便自掏腰包在當地的印刷館印刷他的論文。因為貧窮，為了減少印刷費，他把結果緊縮成只有六頁的小冊子。
阿貝爾滿懷信心地把這小冊子寄給外國的數學家，包括德國被稱為數學王子的高斯，希望能得到一些反應。可惜文章太簡潔了，沒有人能看懂。高斯收到這小冊子時覺得不可能用這么短的篇幅證明這個世界著名的問題----連他還沒法子解決的問題，於是連拿起刀來裁開書頁來看內容也懶得做，就把它扔在書堆里了。
阿貝爾在數學和天文學界的朋友們，說服大學去請求挪威政府資助這個年輕人，作一次以數學為主要目的的歐洲之行。經過過分的慎重考慮之後，政府妥協了，但不是立刻派阿貝爾去法國和德國，而是給他一筆獎金，讓他在克里斯蒂安尼亞複習法語和德語。在延誤了一年半後，在1825年8月，皇家從窘迫的財政中撥出一筆錢當時二十三歲的阿貝爾，讓他足夠在法國和德國旅行和學習一年。
阿貝爾在德國並沒有去找在哥廷根的高斯，可能他覺得這個大數學家難以接近，也難以幫助他，因為他以前的作品寄給他卻得不到回音。1826年7月，阿貝爾離開德國到了法國，當時的法國皇家科學院正被柯西、泊松、傅立葉、安培和勒讓德等年邁的大數學家們把持，學術氣氛非常保守，各自又忙於自己的研究課題，對年青人的工作並不重視。阿貝爾留在巴黎期間覺得很難和法國數學家談論他研究的成果。他曾寄過一份長篇論文給法國科學研究院，論文交到了勒讓德手上，勒讓德看不大懂，就轉給柯西。多產的柯西正忙著自己的工作，無暇理睬，把論文隨便翻翻丟在一個角落裡去了。
阿貝爾的那篇論文《關於非常廣泛的一類超越函式的一般性質的論文》是數學史上重要的工作，他長久的等待著訊息，可是一點音訊也沒有，最後只好失望回到柏林。在那裡他病倒了，他不知道自己已患上了肺結核病，以為是法國的孤寂生活使他身體衰弱。他只剩下大約七元錢。他寫了一封急信，延誤了一些時間,從霍姆伯厄那裡借來了一筆錢。阿貝爾從1827年3月到5月，靠霍姆伯厄的大約六十元借款生活和從事研究。最後，當他所有的來源都枯竭時，只好掉頭回國。
1827年5月底，阿貝爾回到了克里斯蒂安尼亞。那時他不僅身無分文，還欠了朋友一些錢。他的弟弟無所事事，用他的名字借了一些錢，他必須還清。於是，阿貝爾靠給一些國小生和中學生補習初級數學、德語和法語賺點兒錢。沒多久，阿貝爾很幸運地被推薦到軍事學院教授力學和理論天文學，薪水雖不是很多，卻已經可以讓他安心繼續從事橢圓函式的工作了。
這時，阿貝爾的身體越來越衰弱。在1828年夏天他一直生病發燒咳嗽，人也變的消沉，感到前途真是暗淡無光，而且無法擺脫靠他養活的家人的負擔。他們直到最後一直纏著他，實際上弄得他自己一無所有，可是直到最後他也從沒有說過一句不耐煩的話。
挪威1828年的冬天很冷，阿貝爾穿上了所有的衣服，可是身體還是覺得冷。他咳嗽、發抖，覺得胸部不適，但是在朋友面前他裝作若無其事，而且常開玩笑，以掩飾他身體的不舒服。
1829年14月6日，阿貝爾去世，身邊只有未婚妻克里斯汀。阿貝爾死後兩天，阿貝爾將被任命為柏林大學的數學教授這么詳細地敘述阿貝爾的生平，很重要的一個原因是阿貝爾生活的平淡無奇，而他在純數學上貢獻又只存在於極少的專業人士的心中。
