簡介
卡丹公式卡丹公式確定一般的三次方程的根的公式 .
如果用現在的數學語言和符號,卡丹公式的結論可以藉助於下面這樣一種最基本的構想得出。
假如給我們一個一般的三次方程：
ax+(3b/a)x+3cx+d=0 （1）
如果令
x=y-b/a
我們就把方程（1）推導成
y+3py+2q=0 （2）
其中3p=3c/a-3b/a，2q=2b/a-3bc/a+d/a 。
藉助於等式
y=u-p/u
引入新變數u 。把這個表達式帶入（2），得到：
（u）+2qu-p=0 （3）
由此得
u=-q±√（q+p），
於是
y=√（-q±√（q+p））-p/√（-q±√（q+p）） 。
=√（-q+√（q+p））+√（-q-√（q+p）） 。
（最後這個等式里的兩個立方根的積等於-p 。）
這就是著名的卡丹公式。
如果再由y轉到x，那么，就能得到一個確定一般的三次方程的根的公式。
卡丹
卡丹通曉數學，就像通曉一群質樸的人的風俗習慣那樣容易。費拉里知道了三次方程的解法之後，確實過了不長時間，他就找到了四次方程的解法。正像費拉里在他和塔爾塔利亞爭論時所宣稱的那樣，卡丹把這一方法寫進自己的書里了。
這種方法是怎樣得到的呢
我們在前面已經看到，利用並不複雜的代換可以把三次方程（3）歸結為關於u3的二次方程（4）。費拉里現在去尋找把一般四次方程歸結為一個三次方程的可能性，這是十分自然的。
設 ax4+4bx3+6cx2+4dx+e=0 （5）
是一個一般的四次方程。如果令
x=y-b/a
那么，方程（5）可以歸結為
y4+2py2+2qy+r=0 （6）
其中p，q，r是一些取決於a，b，c，d，e的係數。容易看出，這個方程可以寫成這樣的形式：
（y2+p+t）2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r （7）
確實，如果把括弧打開，那么，所有含t的項互相抵消，我們就能回到方程（6）。
我們這樣選取參數t，使方程（7）的右邊是關於y的完全平方。眾所周知，位於等號右邊的（關於y的）三項式係數判別式為0，是這個完全平方的充分必要條件，
即： q2-2t（t2+2pt+p2-r）=0 （8）
我們得到了這樣一個已經能解的一般的三次方程。求出它的任何一個根，並代入形為
（y2+p+t）2=2t（y-q/2t）2 的方程（9），由此得 y2±√（2t）y+p+t±q/√（2t）=0 。
