概述
設二元函式z=f(x,y)定義在有界閉區域D上,將區域D任意分成n個子域Δδi(i=1,2,3,…，n），並以Δδi表示第i個子域的面積.在Δδi上任取一點(ξi,ηi),作和n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi.如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函式f(x,y)在區域D上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=lim Σf(ξi,ηi)Δδi
這時,稱f(x,y)在D上可積,其中f(x,y)稱被積函式,f(x,y)dδ稱為被積表達式,dδ稱為面積元素, D稱為積分域,∫∫稱為二重積分號.
性質
性質1（積分可加性）函式和（差）的二重積分等於各函式二重積分的和（差），即
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性質2（積分滿足數乘）被積函式的常係數因子可以提到積分號外，即
∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ(k為常數）
性質1與性質2合稱為積分的線性性質。
性質3如果在區域D上有f(x,y)≦g(x,y),則∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
推論∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
性質4設M和m分別是函式f(x,y)在有界閉區間D上的最大值和最小值，σ為區域D的面積，
則mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
性質5如果在有界閉區域D上f(x,y)=1,σ為D的面積，則Sσ=∫∫dσ
性質6二重積分中值定理
設函式f(x,y)在有界閉區間D上連續，σ為區域的面積，則在D上至少存在一點（ξ，η），使得
∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ
意義
當被積函式大於零時，二重積分是柱體的體積。
當被積函式小於零時，二重積分是柱體體積負值。
幾何意義
在空間直角坐標系中，二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。
