簡介
《再生核空間數值分析》《再生核空間數值分析》本書第一章介紹了再生核理論；第二章和第三章討論了插值問題，構造出對散亂的節點系不用導數條件，能保證一致收斂的一元和多元插值公式；第四章討論了插值疊代法；第五章和第六章討論了各類運算元方程及其基於方程精確解的表達式，給出了數值解的求解方法；第七章討論了泛函極值問題，給出了一類數值泛函問題的最佳解的表達式；第八章討論了一類重要的非線性運算元方程，給出了精確解的表達式。
特色
本書第一章列舉了再生核空間的主要概念和性質以及基本原理．本書中再生核空間的有關知識只作為一個工具，因此刪去了證明。
在第二章給出了若干具體的再生核空間．在所有給出的再生核空間中都有具體的再生核表達式．有一些具體的再生核空間放在以後的各章節中，其原因是這些空間是以具體問題做背景的．這樣處理的主要目的是使讀者領略如何從實際問題構造一個與問題相適應的具體的再生核空間．
在第三章中討論了數值分析的最基本問題，給出了最佳Lagrange插值法和最佳Hermite插值法以及最佳曲面插值法．這些插值法均對散亂節點系有一致收斂的特點．不論從經典的理論角度，還是從套用角度，“最佳”這一詞是名副其實的．
在第四章中給出了插值疊代法．顧名思義插值疊代法是插值和疊代法相結合的產物，沒有什麼新意．但是人們知道在C[a，b]空間中這兩種方法是不能結合的，這是因為在C[a，b]空間中沒有很好地解決插值法的收斂性問題，因此得不到有套用價值的插值和疊代相結合的算法．然而在再生核空間中，這兩種方法可以巧妙地結合成一個好的算法．用所建立的插值疊代法我們可以不用任何導數條件，將連續函式在大範圍進行展開．
在第五章中討論了各類線性積分方程求解問題．我們給出了各類方程精確解的表達式，這些表達式是由級數形式表達的，級數截斷就給出近似解．值得一提的是這些近似解隨著級數截斷項的增加而單調下降，並且方程的右端項f(x)以離散形式｛f(xi)｝ni=1給出時，所構造的這些近似解在節點xi處精確地滿足方程．
第六章討論了微分方程以及積分—微分方程．其中6．2節和6．3節是由具體的套用問題提出來的．第一個套用問題是流體力學中的問題；而第二個套用問題是人口控制問題．這些套用問題在某種側面上都得到了較好的答。
序言
1930年Bergman[1～7]在研究下述微分方程的求解問題(其中：a(x，y)，(x，y)，r(x，y)()，是有界區域，a(x，y)，(x，y)，r(x，y)是內的實解析函式)時，首次給出了再生核的概念及表達式其中：n(z)是z的任意一個解析函式；A(z，z)是係數函式；a(x，y)，(x，y)延拓函式的一個變換函式；E(z，z，t)是方程的解．
Bergman稱函式E(z，z，t)為微分方程的生成函式(也稱為Bergman核函式)．
再生核理論總體上可分為兩方面．一方面產生於積分理論，那時的核被認定是正定積分運算元的連續核．這個理論是由J．Mercer以“正定核”的名詞提出來的[8]，在20世紀20年代，被其他對積分方程感興趣的學者們引用．Mercer發現所有正定積分方程的連續核具有性質在20世紀30年代，E．H．Moore也發現了同樣的性質．Moore討論的是定義在抽象集合正上具有性質(1)式的核函式K(x，y)，在一般的分析中以“正定Hermitian矩陣”的名詞套用在廣義積分方程中，他證明了對每一個正定的Hermitian矩陣，對應一個函式族，形成具有內積為(f，g)的Hilbert空間，且在此空間中的核具有再生性.
他的這種發現將再生核的兩種說法連線起來了，這一理論也被S．Bochner在20世紀30年代以“正定函式”的名詞提出，Bochner研究的是具有實變數x的連續函式(x)，令核K(x，y)=(x—y)，則此核函式K(x，y)具有性質(1)式．並將此核套用到Fourier變換理論中．
另一方面是20世紀初，由S．Zaremba在討論關於調和雙調和函式的邊值問題時提出的，Zaremba是第一個在特殊情況下引入與一個函式族相對應的核，並證明此核的再生性式．
在20世紀三四十年代，所討論的核大都是Bergman核．Bergman給出了與一元或多元調和函式，分析函式相對應的核是作為平方度量中的正交函式系中的核給出的．即定義在區域D上具有平方度量的一元或多元解析函式的核，並發現了這些核的再生性．這些核在一元或多元複函數理論中得到了許多重要套用．Bergman將Zeremba套用再生核解決邊值問題的思想進一步深入，證明了再生核是解決橢圓型偏微分方程邊值問題的非常有用的工具．聯繫到Hada-mard各種方法的運用，建立了再生核與不同區域上微分方程解之間的關係．對於偏微分方程，在一定區域上的解系的核證明是與相應Neuman和Green函式完全不同的函式．再與再生核在偏微分方程中的套用相對應，又得出了再生核與分析函式的Bergman核之間的關係，同時多連通區域上的保角映射中的再生核的套用作為重要的映射函式也得到了很大的進展，且被Bergman核簡單地表達出來．
1943年，N．Aronszajn概括前人的工作，形成了包括特例Bergman核函式在內的系統的再生核理論，再生核理論為每一個特殊例子研究奠定了基礎，而且大大簡化了一些證明過程．在這個理論中，函式族的核函式的再生性起著重要的作用．同時也證明了再生核同樣具有正定的Hermitian矩陣的性質，這又將兩種說法再次統一起來．
後來，國內外許多學者在再生核方面的研究做了大量工作，總結出許多再生核的構造方法，以及在再生核空間中利用核函式的再生性求解方程的近似解．在量子化的Hilbert空間中構造再生核，轉化使哈密爾頓量子化的能量運算元，並且使李代數成為具有半範數的顯式擬微分運算元．研究SUp，q空間中一族全純的離散序列的表示，以及對再生核參數v的解析連續性進行了討論．運用次高斯過程的定義，把次穩定過程定義為均衡穩定的尺度混合過程，並研究它的無窮可分性．這嚴格依賴於相應穩定過程產生的La空間的子空間H(R)的幾何性質．這個空間在次高斯過程的意義下，可看做是一個再生核空間，並研究了該空間的惟一表達方式及一些幾何性質．對兩個變數的再生核給出了一般化的定義，並概括了相應的理論．對Cn上的一類沒有特殊要求的Bergman空間，給出其上再生核的精確表達式．文獻[19]研究了Caratheodory函式
構成的具有再生核的Hilbert空間，並在其上研究了時間問題．文獻[20]運用再生核Hilbert空間的方法，為球上解析的壓縮的函式子類構造了一種Schur型運算法則，又討論了其上的Nevanlinna-Pick插值問題．文獻[21]利用一般性的結構定理例證了再生核空間與正交多項式全體的關係．文獻[22]中證明了Favard型定理，即對一列文獻中提到的循環所產生的核函式kn(z，w)，一定在單位球上存在度量u，使得kn是Ln的再生核，並且這個度量在一定條件下是惟一的．文獻[23]運用定義在Cn中有界均衡區域上的解析函式構成的Hilbert空間的理論，構造了Bergman核．該核在運算元理論中起著越來越重要的作用．文獻中還列出了該核所構成的Hilbert空間中的幾個積分公式．
1970年，F.M．Larkin給出了具有再生核的Hilbert函式空間中的最佳逼近原則[24]．1974年，M．M．Chawla又給出了具有再生核的Hilbert函式空間具有多項式精度的最佳逼近規則，1986年崔明根[26～28]開始從事再生核空間的逼近論及數值方法的研究，首先給出了一個再生核空間W12[a，b]．在文獻[26]中證明了W12[a，b]是一個具有再生核的Hilbert空間，給出了再生核的有限表達式，並構造一個新的插值疊代公式來討論大範圍展開和離散函式的逼近問題．給出了最佳插值逼近運算元的解析表達式，研究了一維的第一類、第二類Fredholm積分方程與適定和不適定運算元方程的求解問題以及最佳數值原函式等問題．張艷英[30]在二維矩形區域D=[a，b]×[a，b]R2上定義了再生核空間W12(D)，並在其中討論了多元插值，給出了多元插值公式．在文獻[31]中進一步給出了一種計算多元插值疊代公式．
吳勃英[32]給出了再生核空間W22(D)和該空間再生核的近似表達式，在文獻[33]中給出了第一類運算元方程的近似解.閻玉斌[34]給出了再生核空間W12[a，+∞)，W12(—∞，+∞)，並在其上討論了廣義積分方程的精確解．閻玉斌、崔明根又研究了一類運算元方程Au=f的解的表示，李雲暉、崔明根[36]進一步在再生核空間W12[0，+∞)中給出了一類積分微分方程的精確解．文松龍、崔明根給出了再生核空間W｛[a，b]×[a，b]｝及其再生核，並在其上討論了最佳插值，方程求解等問題．目前，李春利又利用再生核空間的良好性質求解非線性運算元方程，並給出其精確解的表示．
再生核技巧與其他方向相結合，產生了許多新的理論和算法．例如在信號處理，隨機過程處理，估計理論，小波變換[44]，reproducingkernelparticlemethod(RKPM)，themovingleast-squarereproducingkernelmethod(MLSRK)，multiplescalereproducingkernelparticlemethods有許多套用例子.
本書是作者從1986年第一次給出一個具體的再生核空間W12[a，b]的再生核表達式以來有關再生核空間數值分析方面的17年工作的總結．開始給這本書起個“再生核空間數值分析”時覺得書名起得大了一點，但是，後來又覺得這個書名還是名副其實的．其理由之一是本書的題材涉及數值分析的最主要內容：插值問題、數值積分問題、數值泛函問題、積分方程、微分方程、微分—積分方程和一般的運算元方程的數值求解問題；其理由之二是在本書中各個問題都是藉助於再生核空間的特殊性質和技巧給出了完整的理論體系和算法，並通過大量的實驗表明這些算法是有效的．
應當說，再生核空間是研究數值分析的比較理想的空間框架．再生核空間之所以有這樣好的數值表現力是因為在這個空間中有一個函式Rr(y)使得對固定的x和相應的空間中的函式u(y)通過內積表現出再生性：u(x)=(u(y)，Rx(y))，於是對數值分析中最基本的取值運算u(xi)，也就是說對取值泛涵Iiu=u(xi)有一個連續的表示u(xi)=(u(y)，Rx(y))．這種離散的取值問題的連續表現形式正是使追求各類數值問題的最佳化成為可能．在此泛函分析工具並不是花架子，而是實實在在的分析工具．不論在建立理論框架，還是在建立數值算法時都離不開它．尤其是共軛運算元A*的作用發揮得淋漓盡致，討論求解方程問題時都要具體的表現共軛運算元算法，而再生核空間為實現這種表現提供一個最為理想的框架。
目錄
第一章再生核理論簡介
1．1再生核的定義及基本性質
1．1．1再生核的定義
1．1．2再生核的基本性質
1．1．3再生核的表示
1．2非完備內積空間的函式完備化
1．3再生核的限制
1．4再生核的和、差、積及極限
1．4．1再生核的和
1．4．2再生核的差
1．4．3再生核的積
1．4．4再生核的極限
1.5具有再生核的空間中的運算元
1．6套用舉例——bergman核函式
1．6．1空間l2(g)
1．6．2bergman核函式
1．6．3bergman核函式的套用
第二章若干再生核空間
2．1w12[a，b]空間
.2．1．1w12[a，b]空間定義及完備性
2．1．2w21[a，b]空間再生核的表達式
2．2w12[0，+∞)空間及w12(—∞，+∞)空間
2．2．1w12[0，+∞)空間
2．2．2w12[0，+∞)空間的再生核
2．2．3w12(—∞，+∞)空間及其再生核
2．3w22[a，b]空間及相應空間
2．3．1w22[a，b]空間
2．3．2w22[0，+∞)空間及w22(—∞，+∞)空間
2．4wl2空間
2．5有界變差函式與全連續函式
2．6w12(d)空間完備性及其再生核
第三章再生核空間中的插值方法
3．1w12[a，b]空間中的最佳插值逼近運算元
3．1．1問題的提法
3．1．2主要結果及證明
3．1．3餘項
3．1．4附記
3．2w22[a，b]空間中的最佳hermite插值運算元
3．2．1問題的提法
3．2．2主要定理及證明
3．3w12(d)空間中最佳逼近插值運算元
3．3．1問題的提出
3．3．2最佳逼近插值運算元的表示
3．3．3收斂性
3．3．4逼近階
3．3．5計算重積分的一個新的數值方法
3．3．6數值算例
第四章插值疊代法
4．1一個新的插值疊代法
4．2函式的大範圍展開
4．2．1函式的大範圍展開
4．2．2離散函式的逼近
4．3再生核空間二元函式展開
4．3．1展開定理
4．3．2曲面的數值逼近
第五章再生核空間中積分方程的精確解表示
5．1第二類fredholm積分方程的精確解
5．1．1主要引理
5．1．2共軛運算元a*的表示
5．1．3主要結論及證明
5．1．4數值算例
5．2第二類volterra積分方程的精確解
5．2．1主要定理
5．2．2校正公式
5．2．3數值算例
5．3更新方程的精確解
5．3．1更新方程的精確解表達式
5．3．2數值算例
5．4一類廣義積分方程的精確解
第六章再生核空間中微分方程的精確解表示
6．1w12[a，b]空間中線性變係數常微分方程組的精確解
6．1．1若干引理
6．1．2關於共軛運算元的若干結果
6．1．3微分方程組解的表示
6．1．4近似解的表示
6．1．5數值算例
6．2再生核空間中求解定態對流擴散方程
6．2．1引言
6．2．2解的表示
6．2．3算列
6．3再生核空間w22[0，∞)中一類積分——微分方程精確解的表示
6．3．1問題的提出
6．3．2再生核空間w22’0[0，∞)及其再生核表達式
6．3．3積分—微分方程解的表達式
第七章再生核空間若干套用
7．1w12空間中的最佳數值原函式
7．1．1問題的提出
7．1．2數值算例
7．2w12[a，b]中的最佳數值泛函
7．2．1問題的提出
7．2．2線性泛函最佳逼近表達式
7．2．3套用舉例
7．3一個無窮積分的數值積分公式
第八章運算元方程數值求解
8．1運算元方程發展
8．1．1連續線性運算元方程理論簡介
8．1．2連續線性運算元方程數值求解簡介
8．1．3非線性運算元方程發展概述
8．2運算元方程au=f的解表示
8．3一類非線性運算元方程數值求解
8．3．1引言
8．3．2某些線性運算元的性質
8．4二次非線性運算元方程的精確解
8．4．1精確解的表示
8．4．2算例
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