定義
p級數定義. 對任意的正實數，稱下列級數
p級數 p級數
p級數 p級數
p級數 p級數 p級數
p級數 p級數 p級數
p級數為級數。顯然，當時，級數收斂，當，級數發散。當級數收斂時，記為級數收斂值。易知是上的光滑函式 。
特殊值
p級數1）對任意的正偶數，有
p級數
p級數 p級數其中，是第個伯努利數。對任意的正奇數，目前還沒有這樣的簡單表達式。
2）
p級數
p級數也稱為調和級數，應此，由上式可知調和級數是發散的。
3）
p級數4）
p級數5）
p級數6）
p級數歐拉乘積公式
p級數函式與素數之間有一重要的關係，即歐拉乘積公式，最早由數學家歐拉發現 。即為
p級數其中，表達式右邊為
p級數 p級數歐拉乘積公式表明函式和素數之間有千絲萬縷的聯繫。
由歐拉乘積公式，我們有
p級數
p級數
p級數當時，歐拉乘積公式左邊為調和級數，是發散的，歐拉乘積公式右邊為，這表明素數是無窮多個。除此之外，上述公式還有很多其它用處。如歐拉乘積公式可用於計算隨機選取的整數互質的漸近機率。
黎曼函式
p級數
p級數定義. 在複平面上，對任意，定義黎曼函式為
p級數或者由下述積分給出
p級數其中
p級數黎曼函式和黎曼猜想有關。而目前黎曼猜想是數學上還未解決的一個重要的猜想，其猜想是非平凡的零點的分布都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。進一步的了解參見黎曼猜想。
