簡介
悖論的產生 --- 第三次數學危機1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年後，康托發現了很相似的悖論。1902年，羅素又發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素於1919年給出的，它涉及到某村理髮師的困境。理髮師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村里這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質："理髮師是否自己給自己刮臉？"如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。
羅素悖論的精確表述：
如果存在一個集合A={x|x∉A}，那么A∈A是否成立？如果它成立，那么A∈A，不滿足A的特徵性質。如果它不成立，A就滿足了特徵性質。
羅素悖論使整個數學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷末尾寫道："一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置於這種境地"。於是終結了近12年的刻苦鑽研。
承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。儘管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著。
背景
第三次數學危機產生於十九世紀末和二十世紀初，當時正是數學空前興旺發達的時期。首先是邏輯的數學化，促使了數理邏輯這門學科誕生。十九世紀七十年代康托爾創立的集合論是現代數學的基礎，也是產生危機的直接來源。十九世紀末，戴德金及皮亞諾對算術及實數理論進行公理化，推動了公理化運動。而公理化運動的最大成就則是希爾伯特在1899年對於初等幾何的公理化。
定義
為了講清楚第三次數學危機的來龍去脈，我們首先要說明什麼是數學危機。一般來講，危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在的、不可避免的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。
矛盾的消除，危機的解決，往往給數學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾鬥爭是事物發展的歷史動力這一基本原理。整個數學的發展史就是矛盾鬥爭的歷史，鬥爭的結果就是數學領域的發展。
研究
人類最早認識的是自然數。從引進零及負數就經歷過鬥爭：要么引進這些數，要么大量的數的減法就行不通；同樣，引進分數使乘法有了逆運算——除法，否則許多實際問題也不能解決。但是接著又出現了這樣的問題，是否所有的量都能用有理數來表示?於是發現無理數就導致了第一次數學危機，而危機的解決也就促使邏輯的發展和幾何學的體系化。方程的解導致了虛數的出現，虛數從一開始就被認為是“不實的”。可是這種不實的數卻能解決實數所不能解決的問題，從而為自己爭得存在的權利。
幾何學的發展從歐幾里得幾何的一統天下發展到各種非歐幾何學也是如此。在十九世紀發現了許多用傳統方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數方程不能通過加、減、乘、除、乘方、開方求出根來；古希臘幾何三大問題，即三等分任意角、倍立方體、化圓為方不能通過圓規、直尺作圖來解決等等。
這些否定的結果表明了傳統方法的局限性，也反映了人類認識的深入。這種發現給這些學科帶來極大的衝擊，幾乎完全改變了它們的方向。比如說，代數學從此以後向抽象代數學方面發展，而求解方程的根變成了分析及計算數學的課題。在第三次數學危機中，這種情況也多次出現，尤其是包含整數算術在內的形式系統的不完全性、許多問題的不可判定性都大大提高了人們的認識，也促進了數理邏輯的大發展。
發展
這種矛盾、危機引起的發展，改變面貌，甚至引起革命，在數學發展歷史上是屢見不鮮的。第二次數學危機是由無窮小量的矛盾引起的，它反映了數學內部的有限與無窮的矛盾。數學中也一直貫穿著計算方法、分析方法在套用與概念上清楚及邏輯上嚴格的矛盾。在這方面，比較注意實用的數學家盲目套用。而比較注意嚴密的數學家及哲學家則提出批評。只有這兩方面取得協調一致後，矛盾才能解決。後來算符演算及δ函式也重複了這個過程，開始是形式演算、任意套用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函式論的嚴整系統。危機
對於第三次數學危機，有人認為只是數學基礎的危機，與數學無關。這種看法是片面的。誠然，問題涉及數理邏輯和集合論，但它一開始就牽涉到無窮集合，而現代數學如果脫離無窮集合就可以說寸步難行。因為如果只考慮有限集合或至多是可數的集合，那絕大部分數學將不復存在。而且即便這些有限數學的內容，也有許多問題要涉及無窮的方法，比如解決數論中的許多問題都要用解析方法。由此看來，第三次數學危機是一次深刻的數學危機。解決
數學家們通過將集合的構造公理化來排除了這樣的集合的存在性。例如，在策梅洛（Zermelo）和弗倫克爾（Fraenkel）等提出的ZF公理系統（也稱ZFC公理系統）中，嚴格規定了一個集合存在的條件（簡單地說，存在一個空集【空集公理】；每個集合存在冪集【冪集公理】；每個集合里所有的集合取並也形成集合【並集公理】；每個集合的滿足某條件的元素構成子集【子集公理】；一個”定義域“為A的”函式“存在“值域”【替換公理】等），這樣無法定義出悖論中的集合。
第三次數學危機就此完美解決。
