內容簡介
本書系統講解了數值分析的方法與理論以及基於MATLAB軟體的編程實現，全書共
matlab數值計算案例分析12章，內容包括MATLAB編程基礎、數據插值、數據擬合、數值積分、常微分方程、線性方程組疊代解法、線性方程組的直接解法、非線性方程求解、偏微分方程數值解、數值最佳化、特徵值和特徵向量等。本書以數值方法原理為主線，以MATLAB在數值分析中的套用為主要分析對象，在講解數值分析算法的原理和基本思想的基礎上，側重於基於MATLAB軟體的各種算法的實現。本書適合高年級本科生、研究生以及相關研究人員使用。
目錄
第1章MATLAB編程基礎1
1.1 矩陣的基本操作與基本運算1
1.1.1 矩陣的基本操作1
1.1.2 矩陣的基本運算2
1.1.3 *與 .*和/與./ 的區別3
1.1.4 使用find函式索引符合某些特定條件的矩陣元素3
1.1.5 eps函式與避免除以0的方法4
1.2 MATLAB的數據結構4
1.3 變數、腳本與函式8
1.3.1 變 量8
1.3.2 全局變數使用例子9
1.3.3 局部變數不會被替代的例子10
1.3.4 函式與腳本10
1.3.5 函式的構成11
1.3.6 函式的類型12
1.3.7 函式調用與函式句柄14
1.3.8 可變參數函式調用14
1.4 MATLAB技巧15
1.4.1 MATLAB的函式重載15
1.4.2 冒號(:)操作符17
1.4.3 Tab鍵自動補全17
1.4.4 上下箭頭回調17
1.4.5 可變參數個數的函式的占位符17
1.4.6whos查看18
1.4.7 whos 通配符的例子18
1.4.8 程式調試18
1.5 MATLAB工具箱函式ode23剖析18
1.6 MATLAB的幫助文檔導航22
1.7 MATLAB常見錯誤23
1.7.1 常見寫法錯誤23
1.7.2 字元串連線出錯24
1.7.3 矩陣維數不同的例子25
1.7.4 賦值出錯26
第2章數值分析的基本概念27
2.1 數值分析的研究對象27
2.2 誤差與有效數字30
2.2.1 誤差的產生及分類30
2.2.2 誤差的相關概念30
2.3 近似計算中的注意事項31
2.4 數值算法的穩定性34
2.5 機器精度35
第3章數據插值37
3.1 插值與多項式插值37
3.2 Lagrange插值37
3.2.1 Lagrange插值的定義37
3.2.2 Lagrange插值的MATLAB實現38
3.3 Newton插值40
3.3.1 Newton插值定義40
3.3.2 有限差商40
3.3.3 Newton插值的MATLAB實現41
3.4 Hermite插值42
3.4.1 Hermite插值定義42
3.4.2 Hermite插值的MATLAB實現43
3.5 分段低次插值45
3.5.1 高次插值的Runge現象45
3.5.2 分段低次Lagrange插值45
3.5.3 interp1函式46
3.6 三次樣條插值47
3.6.1 三次樣條插值47
3.6.2 三次樣條函式48
第4章數據擬合50
4.1 數據的曲線擬合50
4.1.1 曲線擬合的誤差50
4.1.2 曲線擬合的最小二乘法51
4.2 多項式擬合52
4.2.1 多項式曲線擬合52
4.2.2 多項式曲線擬合的MATLAB實現52
4.2.3 MATLAB多項式曲線擬合套用的擴展54
4.3 圓擬合的例子講解57
4.3.1 圓擬合問題描述(使用最小二乘方法)57
4.3.2 圓擬合的MATLAB實現58
4.4 cftool自定義擬合60
4.5 cftool代碼自動生成與修改62
第5章數值積分66
5.1 數值積分的基本思想66
5.1.1 數值求積的基本思想66
5.1.2 幾種常見的數值積分公式66
5.2 數值求積公式的構造67
5.2.1 代數精度68
5.2.2 插值型求積公式68
5.2.3 Newton-Cotes求積公式69
5.3 復化積分公式70
5.3.1 復化Simpson公式70
5.3.2 復化求積公式及其MATLAB實現70
5.3.3 MATLAB的trapz函式72
5.4 Romberg求積公式73
5.4.1 數值積分公式誤差分析73
5.4.2 Romberg算法74
5.4.3 Romberg求積公式的MATLAB實現76
5.5 Gauss求積公式77
5.5.1 Gauss積分公式77
5.5.2 Gauss-Legendre求積公式的MATLAB實現及套用實例78
5.6 積分的運算選講79
5.6.1 二重積分79
5.6.2 三重積分79
5.6.3變上限積分79
5.6.4 符號積分81
5.6.5 MATLAB常見積分函式列表82
第6章常微分方程83
6.1 常微分方程分類及其表示形式83
6.1.1 MATLAB關於ODE的函式幫助簡介83
6.1.2 MATLAB ODE suite中關於ODE的分類83
6.2 典型常微分方程舉例84
6.2.1 一階常微分方程84
6.2.2 二階常微分方程84
6.2.3 高階常微分方程85
6.2.4 邊值問題85
6.2.5 延遲微分方程85
6.3 解的存在性、唯一性和適定性86
6.3.1 初值問題的存在性與唯一性86
6.3.2 MATLAB中常微分方程的通用形式及其向量表示87
6.3.3 剛性常微分方程87
6.4 常微分方程的時域頻域表示以及狀態方程表示89
6.4.1 時域與頻域表示形式89
6.4.2 狀態空間表示形式90
6.5 單步多步和顯式隱式概念91
6.6 常微分方程數值求解方法構造思想舉例92
6.7 常微分方程數值解的基本原理93
6.7.1 一階常微分方程與一階微分方程組93
6.7.2 求解區間[a,b]的離散93
6.7.3 微分方程的離散93
6.7.4 Taylor展開法94
6.7.5 常微分方程數值求解的歐拉方法97
6.7.6 歐拉方法的MATLAB實現97
6.7.7 改進的歐拉方法98
6.7.8 改進的歐拉方法的MATLAB實現99
6.7.9 四階龍格庫塔公式的MATLAB實現99
6.7.10 Adams預測校正公式100
6.8 常微分方程工具箱102
6.8.1 總體介紹102
6.8.2 各個求解器的特點與比較103
6.8.3 使用odefile.m模板求解常微分方程103
6.8.4 odefile.m模板使用105
6.9 單自由度振動系統例子106
6.9.1 單自由度二階系統基於傳遞函式與狀態空間的simulink模型求解106
6.9.2 總 結110
6.10 三自由度振動系統例子110
6.10.1 三自由度振動系統simulink模型求解以及狀態方程的ode45求解器求解110
6.10.2 總 結114
第7章線性方程組的疊代解法115
7.1 線性方程組的疊代法概述115
7.1.1 疊代法概述及壓縮原理115
7.1.2 疊代法基本概念115
7.1.3 MATLAB的相關命令117
7.2 常見的線性方程組的疊代法118
7.2.1 Jacobi疊代法118
7.2.2 Gauss-Seidel疊代法120
7.2.3 SOR疊代法123
7.3 疊代法的收斂性125
7.3.1 疊代法的收斂性定理125
7.3.2 主對角優勢125
7.3.3 SOR疊代法的收斂性126
第7章線性方程組的直接解法127
8.1 線性方程組的消元法127
8.1.1 線性方程組的直接求解方法127
8.1.2 Gauss消去法127
8.1.3 Gauss主元素法130
8.1.4 Jordan消去法133
8.2 矩陣的三角分解135
8.2.1lu分解136
8.2.2 LU分解的MATLAB實現136
8.2.3對稱正定矩陣的cholesky分解138
8.2.4 Cholesky分解法的MATLAB實現139
8.2.5 改進平方根法141
8.2.6 改進平方根法的MATLAB實現142
8.3 MATLAB的相關命令144
8.3.1 逆矩陣144
8.3.3 欠定方程的解145
第9章非線性方程求解147
9.1 求解非線性方程的MATLAB符號法147
9.2 二分法149
9.2.1 二分法原理149
9.2.2 二分法的MATLAB程式149
9.3 疊代法151
9.3.1 疊代法原理151
9.3.2 疊代法的幾何意義151
9.3.3 疊代法的MATLAB程式152
9.4 切線法153
9.4.1 切線法的幾何意義154
9.4.2 切線法的收斂性154
9.5 割線法（弦截法）155
9.5.1 割線法的幾何意義155
9.5.2 割線法的MATLAB程式155
9.6 常見非線性方程數值方法的優缺點156
9.7 方程f(x)=0數值解的MATLAB實現157
9.7.2 fzero的使用舉例157
9.8 求解非線性方程組MATLAB命令160
9.8.1 符號方程組求解160
9.8.2 求解非線性方程組的基本方法161
9.8.3 求方程組的數值解162
第10章偏微分方程數值解166
10.1 基本概念166
10.2 有限差分法167
10.2.1 橢圓方程的差分形式167
10.2.2 拋物方程的差分形式168
10.2.3 雙曲方程的差分形式170
10.3 MATLAB的pdepe函式171
10.3.1 pdepe函式的說明171
10.3.2 pdepe函式的實例172
10.4 MATLAB的PDEtool工具箱173
10.4.1 PDEtool的界面174
10.4.2 PDEtool的使用174
第11章數值最佳化177
11.1單變數函式最佳化177
11.1.1 基本數學原理177
11.1.2 黃金分割法178
11.1.3 牛頓法181
11.1.4最速下降法185
11.1.5 共軛梯度法188
11.2 多變數函式最佳化191
11.2.1 Nelder-mead方法191
11.2.2 Nelder-mead方法的MATLAB實現192
11.2.3 Powell方法193
11.2.4 Powell方法的MATLAB實現194
11.3 MATLAB最最佳化函式197
11.3.1 MATLAB最最佳化工具箱介紹197
11.3.2 MATLAB最最佳化函式介紹198
11.3.3 MATLAB最最佳化工具介紹201
11.3.4 MATLAB最最佳化函式套用實例204
第12章特徵值和特徵向量208
12.1 特徵值與特徵向量208
12.1.1 特徵值與特徵向量的定義208
12.1.2 特徵值與特徵向量的計算208
12.1.3 MATLAB的eig命令209
12.2 冪法與反冪法209
12.2.1 冪法的原理210
12.2.2 冪法的MATLAB實現210
12.2.3 反冪法212
12.2.4 反冪法的MATLAB實現213
12.3 對稱矩陣的特徵值——Jacobi方法214
12.3.1 Jacobi方法的原理214
12.3.2 Jacobi方法的MATLAB實現215
12.4householder方法217
12.4.1 初等反射矩陣218
12.4.2 用正交相似變換約化矩陣218
12.4.3 算法的MATLAB實現220
12.5QR分解與QR方法221
12.5.1 矩陣的QR分解221
12.5.2 計算矩陣特徵值的QR方法222
12.5.3 QR方法的MATLAB實現222
參考文獻224
前言
在科學和工程領域，科學計算是不可缺少的重要環節。然而，如高次代數方程求根，微分方程求解，複雜函式的積分，非線性最最佳化等，諸多問題的解析解或解析表達式要么無法給出，要么非常複雜而不便於計算，為解決這些問題，需要採用近似的計算方法——數值方法來求解這些問題。因此，數值分析是科學研究和工程計算領域的一門重要學科，研究的主要內容包括數據插值、擬合、數值積分、數值微分、微分方程求解、線性方程組、方程(組)求根、數值最佳化、特徵值與特徵向量等。
近年來，隨著計算機技術的快速發展，使用計算機進行科學計算已經成為科學研究中不可缺少的環節。伴隨著計算工具的進步，各種數值計算軟體層出不窮，MATLAB軟體即為其中的佼佼者，該軟體界面簡潔，編程快捷，包含功能強大的函式和工具箱，特別適用於數學建模和科學計算，能夠解決各種數值分析問題。
本書以數值分析理論為主線，以MATLAB在數值分析中的套用為主要內容，在介紹數值分析算法原理和基本思想的基礎上，側重於講解基於MATLAB軟體的各種算法的實現。全書共分為12章，分別講解了MATLAB基礎知識、數據插值、數據擬合，數值積分、常微分方程、線性方程組疊代解法、線性方程組的直接解法、非線性方程求解、偏微分方程數值解、數值最佳化、特徵值和特徵向量等。每章內容可以分為兩個部分，講解介紹數值分析的原理部分及數值分析方法的MATLAB實現。
本書適合高年級本科生、研究生以及相關研究人員使用。讀者在閱讀此書時，可以結合程式，一邊運行程式，一邊從書中尋找每段程式的功能以及原理，並且代入自己的數據和模型。
本書由劉寅立、王劍亮、陳靖、劉衍琦、王光輝和史峰編著，其中劉寅立完成第7、8、10、12章，王劍亮完成第1、4、5、6章，陳靖完成第2、9章，劉衍琦完成第3、11章，王光輝負責書中各例題的選取及程式的進一步調試工作，全書由史峰和劉寅立負責統稿。
本書在寫作的過程中，得到了MATLABSKY論壇的大力支持。MATLABSKY論壇為本書開闢了讀者交流版塊，作者長期線上解答讀者的各種疑問。我們相信，只有交流才會有進步，只有碰撞才會有火花。
感謝天津科技大學理學院，黑龍江科技學院計算機與信息工程學院，東方電子有限公司，華中科技大學機械學院的同事、同學們及筆者的家人們對編者工作的支持，尤其感謝謝中華老師對本書的關心與指導，在成書過程中，謝老師傾注了極大的熱情並提出了寶貴的意見和建議。
由於作者水平有限，書中尚存缺點和遺漏之處，懇請讀者提出寶貴的意見和建議，以便於我們完善和提高。
