簡介
lu分解將係數矩陣A轉變成等價兩個矩陣L和U的乘積 ，其中L和U分別是單位下三角矩陣和上三角矩陣。當A的所有順序主子式都不為0時，矩陣A可以分解為A=LU（所有順序主子式不為0，矩陣不一定不可以進行LU分解）。其中L是下三角矩陣，U是上三角矩陣。
算法
LU分解在本質上是高斯消元法的一種表達形式。實質上是將A通過初等行變換變成一個上三角矩陣，其變換矩陣就是一個單位下三角矩陣。這正是所謂的杜爾里特算法（Doolittle algorithm）：從下至上地對矩陣A做初等行變換，將對角線左下方的元素變成零，然後再證明這些行變換的效果等同於左乘一系列單位下三角矩陣，這一系列單位下三角矩陣的乘積的逆就是L矩陣，它也是一個單位下三角矩陣。這類算法的複雜度一般在(三分之二的n三次方) 左右。
示例程式
Java
Matlab
改進
（i）Doolittle分解
對於非奇異矩陣（任n階順序主子式不全為0）的方陣A，都可以進行Doolittle分解，得到A=LU，其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣；這裡的Doolittle分解實際就是Gauss變換；
（ii）Crout分解
對於非奇異矩陣（任n階順序主子式不全為0）的方陣A，都可以進行Crout分解，得到A=LU，其中L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣；
（iii）列主元三角分解
對於非奇異矩陣的方陣A，採用列主元三角分解，得到PA=LU，其中P為一個置換矩陣，L，U與Doolittle分解的規定相同；
（iv）全主元三角分解
對於非奇異矩陣的方陣A，採用全主元三角分解，得到PAQ=LU，其中P，Q為置換矩陣，L，U與Doolittle分解的規定相同；
（v）直接三角分解
對於非奇異矩陣的方陣A，利用直接三角分解推導得到的公式（Doolittle分解公式或者Crout分解公式），可以進行遞歸操作，以便於計算機編程實現；
（vi）“追趕法”
追趕法是針對帶狀矩陣（尤其是三對角矩陣）這一大稀疏矩陣的特殊結構，得出的一種保帶性分解的公式推導，實質結果也是LU分解；因為大稀疏矩陣在工程領域套用較多，所以這部分內容需要特別掌握。
（vii）Cholesky分解法（平方根法）和改進的平方根法
Cholesky分解法是是針對正定矩陣的分解，其結果是 A=LDLT=LD(1/2)D(1/2)LT=L1L1T。如何得到L1，實際也是給出了遞歸公式。
改進的平方根法是Cholesky分解的一種改進。為避免公式中開平方，得到的結果是A=LDLT=TLT， 同樣給出了求T,L的公式。
小結：
（1） 從（i）~（iv）是用手工計算的基礎方法，（v）~（vi）是用計算機輔助計算的算法公式指導；
（2） 這些方法產生的目的是為了得到線性方程組的解，本質是高斯Gauss消元法 。
