簡介
Cayley定理又稱凱萊定理，在群論中，以阿瑟·凱萊命名，聲稱所有群 G 同構於在 G 上的對稱群的子群。這可以被理解為G在G的元素上的群作用的一個例子。集合 G 的置換是任何從 G 到 G 的雙射函式；所有這種函式的集合形成了在函式複合下的一個群，叫做“G 上的對稱群”並寫為 Sym(G)。凱萊定理通過把任何群(包括無限群比如 (R,+))都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。
歷史由來
Burnside將其歸功於Jordan，但是Eric Nummela爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的 1854 年論文中證明了定理中的對應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela 提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比 Jordan 要提前了 16 年。定理證明
從初等群論中，知道了對於任何 G 中元素g 必然有 g*G = G；並通過消除規則知道了 g*x = g*y 若且唯若 x = y。所以左乘 g 充當了雙射函式 fg : G → G，通過定義 fg(x) = g*x。所以，fg 是 G 的置換，並因此是 Sym(G) 的成員。Sym(G) 的子集K 定義為
K = {fg : g ∈ G 並且 fg(x) = g*x 對於所有 x ∈ G}
是同構於 G 的 Sym(G) 的子群。得出這個結果的最快方式是考慮函式T : G → Sym(G) 對於所有 G 中的 g 有著 T(g) = fg 。(對 Sym(G) 中的複合使用 "·")，T 是群同態因為:
(fg · fh)(x) = fg(fh(x)) = fg(h*x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f(g*h)(x)，對於所有 G 中的 x，
因此:
T(g) · T(h) = fg · fh = f(g*h) = T(g*h)。
同態 T 也是單射因為: T(g) = idG (Sym(G) 的單位元) 蘊含了對於所有 G 中的 x 有 g*x = x，選取 x 為 G 的單位元 e 產生 g = g*e = e。可替代的，T(g) 也是單射因為: g*x=g*x' 蘊含 x=x' (通過左乘上 g 的逆元，因為 G 是群所以一定存在)。
因此 G 同構於 T 的像，它是子群 K。
T 有時叫做 G 的正規表示。
與正規群的關係
對正規群表示的註記
單位元對應於恆等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪，小於這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的置換: 這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。正規群表示的例子
Z2 = {0,1} 帶有模 2 加法，群元素 0 對應於恆等置換 e，群元素 1 對應於置換 (12)。Z3 = {0,1,2} 帶有模 3 加法；群元素 0 對應於恆等置換 e，群元素 1 對應於置換 (123)，而群元素 2 對應於置換 (132)。比如 1 + 1 = 2 對應於 (123)(123)=(132)。
Z4 = {0,1,2,3} 帶有模 4 加法；它的元素對應於 e, (1234), (13)(24), (1432)。
克萊因四元群{e, a, b, c} 的元素對應於 e, (12)(34), (13)(24) 和 (14)(23)。
S3(6階二面體群)是三個對象的所有置換的群，但也是 6 個群元素的置換群:
* | e | a | b | c | d | f | 置換 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
e | e | a | b | c | d | f | e |
a | a | e | d | f | b | c | (12)(35)(46) |
b | b | f | e | d | c | a | (13)(26)(45) |
c | c | d | f | e | a | b | (14)(25)(36) |
d | d | c | a | b | f | e | (156)(243) |
f | f | b | c | a | e | d | (165)(234) |
