時空的因果結構

在物理學中, 因果性是一個很微妙的概念。 一方面, 它是現實世界中最基本的經驗事實之一; 另一方面, 卻很少有物理理論直接把因果性作為前提條件。 由此導致的一個結果是: 某些物理理論起碼在形式上允許因果性的破壞。

證明奇點定理的第二步

側重點是時空的因果結構。 廣義相對論就是這樣的一個理論。 在廣義相對論中, 破壞因果性最簡單的方式是產生閉合非類空曲線 。 為了對這種類型的因果性破壞進行界定, 人們引進了一個條件, 叫做因果性條件 (causality condition): 一個時空如果不存在閉合非類空曲線, 則稱為滿足因果性條件。 由於所有有質量粒子都只能沿類時曲線運動, 因此人們還提出了一個比因果性條件稍弱的條件, 稱為時序條件 (chronology condition), 它與因果性條件的差別在於把 “不存在閉合非類空曲線” 減弱為 “不存在閉合類時曲線”。
雖然時序條件比因果性條件稍弱, 但可以證明, 一個時空如果在時序條件之外還滿足測地完備性, 則該時空將不僅滿足因果性條件 (即不存在閉合非類空曲線), 而且不存在可以無限逼近閉合非類空曲線的曲線。 這個比因果性條件更強的性質, 被稱為強因果性條件 (strong causality condition), 它在奇點定理的研究中是一個重要概念。
奇點定理研究中的另一個重要概念是所謂的封閉陷獲面 (closed trapped surface)。 這是一種特殊的二維封閉類空曲面, 所有與之正交的類光測地線束無論向內還是向外都是趨於匯聚的 (即 θ<0)。 從物理上講, 這意味著從封閉陷獲面發出的光波的波前是收縮的。 這種曲面在廣義相對論中並不鮮見, 比如 Schwarzschild 解中所有 r<2m 的曲面都具有這一性質 (這表明任何物質 - 包括光波 - 都不能從 Schwarzschild 黑洞中逃脫)。 1983 年, R. Schoen 與 S. T. Yau (丘成桐) 證明了一個相當普遍的結果: 只要物質的分布足夠緻密, 就必定會出現封閉陷獲面。
由於封閉陷獲面的定義建立在類光測地線的行為之上, 因此我們引進與類光測地線有關的兩個特殊點集: E+(S) 與 E-(S), 分別由從曲面 S 發出的未來與過去方向的類光測地線組成&#91;注一&#93;。 在這一定義中我們假定 S 上任意兩點間都不存在類時連線, 這種點集 S 被稱為非時序點集 (achronal set)。 封閉陷獲面由於是類空的, 因此顯然也是非時序點集。 可以證明, 如果強能量條件成立, 則對於任何封閉陷獲面 S, E+(S) 與 E-(S) 緊緻。
我們知道, 物理上所有的相互作用都是非類空傳播的 (也就是說相互作用的傳播速度不大於光速)。 因此, 如果我們考慮時空中某一點上的任何物理性質, 它所能依賴的初始條件只能位於與該點具有非類空連線的時空點上。 反過來說, 給定某個時空區域 S 上的初始條件, 我們能完全確定其性質的時空區域是由那樣的一些點組成的: 所有通過那些點的過去不可延拓非類空曲線都與 S 相交。 這一時空區域被稱為 S 的未來 Cauchy 展開 (future Cauchy development) 或未來影響域 (future domain of dependence), 通常記為 D+(S)。 D+(S) 的邊界被稱為未來 Cauchy 視界 (future Cauchy horizon), 記為 H+(S)。 類似地, 我們也可以定義 S 的過去 Cauchy 展開 (或過去影響域) 和過去 Cauchy 視界, 分別記為 D-(S) 和 H-(S)。 S 的未來 Cauchy 展開與過去 Cauchy 展開合在一起 - 即 D+(S)∪D-(S) - 稱為 S 的 Cauchy 展開 (或影響域), 記為 D(S)。 一個時空 (或時空中的一個點集) M 中如果存在一個封閉非時序點集 S, 使得 M=D(S), 則稱為是全局雙曲 (globally hyperbolic) 的, 相應的封閉非時序點集 S (可以證明它一定是一個超曲面) 被稱為 Cauchy 面 (Cauchy surface)。 Cauchy 面可以被形象地理解為時空中對應於某一時刻的超曲面。 一個時空如果是全局雙曲的, 我們就可以通過 Cauchy 面上的初始條件預言整個時空的演化, 因此時空的全局雙曲是一種非常優良的因果性質。 1965 年, Penrose 正是在假設時空為全局雙曲的基礎上證明了最早的奇點定理。 但是, 時空的全局雙曲是一個很強的假設, 要想證明現實時空滿足這樣的假設幾乎是不可能的。 因此五年之後, Hawking 與 Penrose 放棄了這一假設, 在一組物理上更容易實現的假設的基礎上重新證明了奇點定理。

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