時空的因果結構

在物理學中， 因果性是一個很微妙的概念。 一方面， 它是現實世界中最基本的經驗事實之一； 另一方面， 卻很少有物理理論直接把因果性作為前提條件。 由此導致的一個結果是： 某些物理理論起碼在形式上允許因果性的破壞。

證明奇點定理的第二步

側重點是時空的因果結構。 廣義相對論就是這樣的一個理論。 在廣義相對論中， 破壞因果性最簡單的方式是產生閉合非類空曲線 。 為了對這種類型的因果性破壞進行界定， 人們引進了一個條件， 叫做因果性條件 (causality condition)： 一個時空如果不存在閉合非類空曲線， 則稱為滿足因果性條件。 由於所有有質量粒子都只能沿類時曲線運動， 因此人們還提出了一個比因果性條件稍弱的條件， 稱為時序條件 (chronology condition)， 它與因果性條件的差別在於把 “不存在閉合非類空曲線” 減弱為 “不存在閉合類時曲線”。
雖然時序條件比因果性條件稍弱， 但可以證明， 一個時空如果在時序條件之外還滿足測地完備性， 則該時空將不僅滿足因果性條件 (即不存在閉合非類空曲線)， 而且不存在可以無限逼近閉合非類空曲線的曲線。 這個比因果性條件更強的性質， 被稱為強因果性條件 (strong causality condition)， 它在奇點定理的研究中是一個重要概念。
奇點定理研究中的另一個重要概念是所謂的封閉陷獲面 (closed trapped surface)。 這是一種特殊的二維封閉類空曲面， 所有與之正交的類光測地線束無論向內還是向外都是趨於匯聚的 (即 θ<0)。 從物理上講， 這意味著從封閉陷獲面發出的光波的波前是收縮的。 這種曲面在廣義相對論中並不鮮見， 比如 Schwarzschild 解中所有 r<2m 的曲面都具有這一性質 (這表明任何物質 - 包括光波 - 都不能從 Schwarzschild 黑洞中逃脫)。 1983 年， R. Schoen 與 S. T. Yau (丘成桐) 證明了一個相當普遍的結果： 只要物質的分布足夠緻密， 就必定會出現封閉陷獲面。
由於封閉陷獲面的定義建立在類光測地線的行為之上， 因此我們引進與類光測地線有關的兩個特殊點集： E+(S) 與 E-(S)， 分別由從曲面 S 發出的未來與過去方向的類光測地線組成&#91;注一&#93;。 在這一定義中我們假定 S 上任意兩點間都不存在類時連線， 這種點集 S 被稱為非時序點集 (achronal set)。 封閉陷獲面由於是類空的， 因此顯然也是非時序點集。 可以證明， 如果強能量條件成立， 則對於任何封閉陷獲面 S， E+(S) 與 E-(S) 緊緻。
我們知道， 物理上所有的相互作用都是非類空傳播的 (也就是說相互作用的傳播速度不大於光速)。 因此， 如果我們考慮時空中某一點上的任何物理性質， 它所能依賴的初始條件只能位於與該點具有非類空連線的時空點上。 反過來說， 給定某個時空區域 S 上的初始條件， 我們能完全確定其性質的時空區域是由那樣的一些點組成的： 所有通過那些點的過去不可延拓非類空曲線都與 S 相交。 這一時空區域被稱為 S 的未來 Cauchy 展開 (future Cauchy development) 或未來影響域 (future domain of dependence)， 通常記為 D+(S)。 D+(S) 的邊界被稱為未來 Cauchy 視界 (future Cauchy horizon)， 記為 H+(S)。 類似地， 我們也可以定義 S 的過去 Cauchy 展開 (或過去影響域) 和過去 Cauchy 視界， 分別記為 D-(S) 和 H-(S)。 S 的未來 Cauchy 展開與過去 Cauchy 展開合在一起 - 即 D+(S)∪D-(S) - 稱為 S 的 Cauchy 展開 (或影響域)， 記為 D(S)。 一個時空 (或時空中的一個點集) M 中如果存在一個封閉非時序點集 S， 使得 M=D(S)， 則稱為是全局雙曲 (globally hyperbolic) 的， 相應的封閉非時序點集 S (可以證明它一定是一個超曲面) 被稱為 Cauchy 面 (Cauchy surface)。 Cauchy 面可以被形象地理解為時空中對應於某一時刻的超曲面。 一個時空如果是全局雙曲的， 我們就可以通過 Cauchy 面上的初始條件預言整個時空的演化， 因此時空的全局雙曲是一種非常優良的因果性質。 1965 年， Penrose 正是在假設時空為全局雙曲的基礎上證明了最早的奇點定理。 但是， 時空的全局雙曲是一個很強的假設， 要想證明現實時空滿足這樣的假設幾乎是不可能的。 因此五年之後， Hawking 與 Penrose 放棄了這一假設， 在一組物理上更容易實現的假設的基礎上重新證明了奇點定理。