內容簡介
《高等院校重點課程教材:偏微分方程》共分六章，第一章介紹從實際問題出發導出三類方程及其定解條件，還介紹了二階線性偏微分方程的分類、線性偏微分方程的疊加原理和定解問題的適定性概念。第二章結合波動方程的Cauchy問題介紹了行波法。第三章介紹了對三類方程定解問題都有廣泛套用的分離變數法以及與其相關的Legendre多項式、Bessel函式和微分方程的特徵值問題。第四章介紹了Fourier變換和Laplace變換這兩種常用的積分變換方法。第五章結合位勢方程的邊值問題介紹了Green函式方法，並對三類方程作了總結。第六章簡單介紹了兩個自變數的一階線性和擬線性偏微分方程組及它們的Cauchy問題。
人類的文明進步和社會發展，無時無刻不受到數學的恩惠和影響，數學科學的套用和發展牢固地奠定了它作為整個科學技術乃至許多人文學科的基礎的地位。當今時代，數學正突破傳統的套用範圍向幾乎所有的人類知識領域滲透，它和其他學科的互動作用空前活躍，越來越直接地為人類物質生產與日常生活作出貢獻，也成為其掌握者打開眾多機會大門的鑰匙。
自18世紀歐拉最早提出二階弦振動偏微分方程以後至今的200多年問，對偏微分方程的研究有了迅速的發展。特別在19世紀，隨著數學物理問題研究的繁榮，偏微分方程的研究更是進入了一個快速發展的時期。它由最初只研究幾種典型的線性偏微分方程定解問題，發展成現在一個研究包含非線性偏微分方程的不適定問題和反問題的龐大而重要的數學分支；它的研究成果不僅推動了數學科學的發展，而且在物理、力學、化學、生物、醫學、經濟、金融和社會科學等領域中都有重要套用。
《高等院校重點課程教材:偏微分方程》內容編排與其他偏微分方程教材不同，不按方程的類型編排，而按求解的方法編排，因為一種求解方法往往可以用於求解多種不同類型的方程。為了便於有關學科套用偏微分方程的基礎知識，在數學推導力求嚴格和詳細的基礎上，《高等院校重點課程教材:偏微分方程》略去了較深或需要冗長和複雜數學推導的內容，只列出結論和相關參考文獻。為了讓讀者了解用《高等院校重點課程教材:偏微分方程》介紹的方法解決實際問題的能力，《高等院校重點課程教材:偏微分方程》部分章節中還給出了在實際問題中使用這些方法所受的限制以及相應的變化。
圖書目錄
第一章 偏微分方程的定解問題
§1.1 引言
1.1.1 本書主要研究內容
1.1.2 偏微分方程的一些基本概念
習題1.1
§1.2 弦的微小橫振動
1.2.1 弦的微小橫振動的定義
1.2.2 弦的微小橫振動方程的導出
1.2.3 弦振動方程的定解條件
1.2.4 混合問題和Cauchy問題
1.2.5 高維波動方程
1.2.6 邊值問題
習題1.2
§1.3 熱傳導方程及其定解條件
1.3.1 有關場論的一些知識（複習）
1.3.2 熱傳導方程
1.3.3 熱傳導問題的定解條件
1.3.4 Cauchy問題
1.3.5 穩定溫度場問題
1.3.6 低維熱傳導問題
1.3.7 非線性偏微分方程和非線性偏微分方程組
習題1.3
§1.4 二階線性偏微分方程的分類和化簡
1.4.1 兩個自變數的二階線性偏微分方程的化簡
1.4.2 兩個自變數二階線性偏微分方程的分類
1.4.3 多個自變數的二階線性偏微分方程的分類
1.4.4 多個自變數二階線性偏微分方程的化簡
習題1.4
§1.5 線性偏微分方程的疊加原理定解問題的適定性
1.5.1 疊加原理
1.5.2 定解問題的適定性
第二章 行波法波動方程Cauchy問題的解
§2.1 一維波動方程的Cauchy問題
2.1.1 一維無界弦的自由振動問題D-Alembert公式和D-Alembert解法
2.1.2 無界弦的強迫振動齊次化原理
習題2.1
§2.2 高維波動方程Cauchy問題的解
2.2.1 三維波動方程Cauchy問題的解
2.2.2 二維波動方程Cauchy問題的解
習題2.2
第三章 分離變數法微分方程的特徵值和特徵函式
§3.1 齊次線性方程的齊次邊界條件混合問題的分離變數解法
3.1.1 有界弦的自由振動分離變數法
3.1.2 其他定解問題的分離變數法
習題3.1
§3.2 非齊次方程問題的解法
3.2.1 有界弦的強迫振動特徵函式展開法
3.2.2 一維非齊次熱傳導方程混合問題的解法
3.2.3 Poisson方程邊值問題的解法
習題3.2
§3.3 非齊次邊界條件問題的解法
3.3.1 邊界條件的齊次化
3.3.2 方程和邊界條件同時齊次化的方法
習題3.3
§3.4 直角坐標系下高維問題的分離變數解法
3.4.1 齊次方程齊次邊界條件問題
3.4.2 非齊次方程齊次邊界條件問題的解法
3.4.3 非齊次邊界條件問題的解
習題3.4
§3.5 極坐標系下的分離變數法
3.5.1 由射線和圓弧所界定區域中問題的解法
3.5.2 周期邊界條件問題的解法
習題3.5
§3.6 高維曲線坐標系下的分離變數法球函式和柱函式
3.6.1 Bessel方程和Legendre方程的導出
3.6.2 二階線性齊次常微分方程的級數解法
3.6.3 Legendre方程的級數解Legendre多項式
3.6.4 Bessel方程的級數解Bessel函式
3.6.5 圓盤中熱傳導方程的解
習題3.6
§3.7 常微分方程的特徵值問題分離變數法的理論基礎
3.7.1 SturmLiouville問題
3.7.2 SturmLiouville問題解的性質
第四章 積分變換法
§4.1 Fourier變換法
4.1.1 Fourier變換的定義
4.1.2 Fourier變換的性質
4.1.3 多元函式的Fourier變換
4.1.4 函式Fourier變換的例子
4.1.5 用Fourier變換法求解偏微分方程的定解問題
習題4.1
§4.2 Laplace變換法
4.2.1 Laplace變換和逆變換的定義
4.2.2 Laplace變換的性質
4.2.3 函式Laplace變換的例子
4.2.4 Laplace逆變換的求法
4.2.5 用Laplace變換法求解偏微分方程的定解問題
習題4.2
第五章 位勢方程的基本解和Green函式解法3類方程的總結
§5.1 δ函式簡介
5.1.1 δ函式的定義
5.1.2 δ函式的性質
5.1.3 多元δ函式
§5.2 位勢方程的Green公式和Green函式
5.2.1 Green公式及其推論
5.2.2 位勢方程的基本解
5.2.3 位勢方程的基本公式
5.2.4 Poisson方程的Green函式
5.2.5 解在無窮遠處取零值的無界區域上的Green函式
5.2.6 一般情況下無界區域上的Green函式
習題5.2
§5.3 利用Green函式求解Poisson方程邊值問題的例子
5.3.1 上半空間中Poisson方程的Dirichlet問題
5.3.2 上半空間中Poisson方程的Neumann問題
5.3.3 球中Poisson方程的Dirichlet問題
習題5.3
§5.4 二維Poisson方程的Green函式解法
5.4.1 求解區域為有界區域時的一些結果
5.4.2 求解區域為無界區域時的一些結果
5.4.3 用對稱點方法求Green函式
5.4.4 用共形映照方法求Green函式
習題5.4
§5.5 位勢方程邊值問題解的唯一性和對邊界條件的穩定性
5.5.1 調和函式的平均值公式和極值原理
5.5.2 有界區域上Poisson方程邊值問題解的唯一性和解關於邊值的穩定性
5.5.3 無界區域上Poisson方程邊值問題解的唯一性和解關於邊值的穩定性
§5.6 3類方程的總結
5.6.1 定解問題提法的差異
5.6.2 極值原理
5.6.3 解的光滑性
5.6.4 解對定解條件的依賴範圍和解的擾動的傳播速度
5.6.5 關於時間的反演
第六章 兩個自變數的一階偏微分方程組
§6.1 兩個自變數的一階線性偏微分方程組
6.1.1 特徵理論和方程的分類
6.1.2 線性雙曲型方程組的化簡
6.1.3 用特徵線法求解一階線性偏微分方程Cauchy問題的例子
6.1.4 一階線性雙曲型方程組的Cauchy問題
習題6.1
§6.2 兩個自變數的一階擬線性偏微分方程組
6.2.1 特徵理論和方程組的分類
6.2.2 擬線性雙曲型偏微分方程組的化簡
6.2.3 擬線性雙曲型方程組的Cauchy問題
習題6.2
部分習題參考答案或提示
參考書目
