人物簡介
法國數學家柯西魏爾斯特拉斯（Weierstrass）德國數學家，1815年10月31日生於德國威斯特伐利亞地區的奧斯登費爾特，1897年2月19日卒於柏林。 魏爾斯特拉斯作為現代分析之父，工作涵蓋：冪級數理論、實分析、複變函數、阿貝爾函式、無窮乘積、變分學、雙線型與二次型、整函式等。在數學基礎上，他接受康托爾的想法（甚至因此與多年好友克羅內克絕交）。 他的論文與教學影響了整個二十世紀分析學（甚至整個數學）的風貌。
魏爾斯特拉斯以其解析函式理論與柯西、黎曼同為複變函數論的奠基人。克萊因在比較魏爾斯特拉斯與黎曼時說："黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才勝過所有時代的數學家。魏爾斯特拉斯主要是一位邏輯學者，他緩慢的、系統的逐步前進。在他工作的分支中，他力圖達到確定的形式。”
龐加萊評價時寫到："黎曼的方法首先是一種發現方法，而魏爾斯特拉斯的則首先是一種證明的方法。"
此外，魏爾斯特拉斯還在橢圓函式論，變分法，代數學等諸多領域中作出了巨大的貢獻。而且，他培養了大批的著名數學家，其中有Engel, Bolza, Frobenius, Hensel, Holder, Hurwitz, Klein, Killing, Lie, Minkowsky, Runge, Schwarz, Stolz等。
人物經歷
父親威廉·魏爾斯特拉斯是受法國僱傭的海關職員，威廉在家裡十分嚴厲而且專斷。14歲卡爾進附近帕德博恩城的一所天主教預科學校學習，在那裡學習德語、拉丁語、希臘語和數學。中學畢業時成績優秀，共獲7項獎，其中包括數學，但不容卡爾有半句分辯，他的父親卻把他送到波恩大學去學習法律和商業，希望他將來在普魯士民政部當一名文官。
德國波恩大學魏爾斯特拉斯對商業和法律都毫無興趣。在波恩大學他把相當一部分時間花在自學他所喜歡的數學上，攻讀了包括拉普拉斯的《天體力學》在內的一些名著。他在波恩的另一部分時間則花在了擊劍上。魏爾斯特拉斯體魄魁偉，擊劍時出手準確，加上鏇風般的速度，很快就成為波恩人心目中的擊劍明星。這樣在波恩大學度過四年之後，魏爾斯特拉斯回到家裡，沒有得到他父親所希望的法律博士學位，連碩士學位也沒有得到。這使他父親勃然大怒，呵斥他是一個“從軀殼到靈魂都患病的人”。這時多虧他家的一位朋友建議，魏爾斯特拉斯被送到明斯特去準備教師資格考試。1841年，他正式通過了教師資格考試。在這期間，他的數學老師居德曼認識到他的才能。居德曼（C.Gudermann）是一位橢圓函式論專家，他的橢圓函式論給了魏爾斯特拉斯很大影響，魏爾斯特拉斯為通過教師資格考試而提交的一篇論文的主題就是求橢圓函式的冪級數展開。居德曼在這篇論文的評語中寫道：“論文顯示了一位難得的數學人才，只要不被埋沒荒廢，一定會對科學的進步作出貢獻”。
米塔-列夫勒居德曼的評語並沒有引起任何重視，魏爾斯特拉斯在獲得中學教師資格後開始了漫長的中學教師生活。他在兩處偏僻的地方中學度過了包括30歲到40歲的這段數學家的黃金歲月。他在中學不光是教數學，還教物理、德文、地理甚至體育和書法課，而所得薪金連進行科學通信的郵資都付不起。但魏爾斯特拉斯以驚人的毅力，過著一種雙重的生活。他白天教課，晚上攻讀研究阿貝爾等人的數學著作，並寫了許多論文。其中有少數發表在當時德國中學發行的一種不定期刊物“教學簡介”上，但正如魏爾斯特拉斯後來的學生、瑞典數學家米塔。列夫勒所說的那樣：“沒有人會到中學的教學簡介中去尋找有劃時代意義的數學論文”。不過魏爾斯特拉斯這一段時間的業餘研究，卻奠定了他一生數學創造的基礎。
而且，這一段當時看起來默默無聞的生活，其實蘊含著巨大的力量——這就不得不提到魏爾斯特拉斯一個最大的特點：他不僅是一位偉大的數學家，而且是一位傑出的教育家！他是如此熱愛教育事業，如此愛護他的學生，以致先不要提他日後培養出的一大批有成就的數學人才（其中最著名的有：柯瓦列夫斯卡婭（1850.1.15-1891.2.10，俄國女數學家、作家、政論家）、H.A.施瓦茨（Schwarz，Hermann Amandus，1843.1.25-1921.11.30，法國數學家）、I.L.富克斯（Fuchs，Immanuel Lazarus，1833.5.5-1902.4.26，法國數學家）、M.G.米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，Magnus Gustaf，1846.3.16-1927.7.7，瑞典數學家）、F.H.朔特基（Schottky，Friedrich Hermann，1851.7.24-1935.8.12，法國數學家）、L.柯尼希貝格（Konigsberger，Leo，1837.10.15-1921.12.15，法國數學家）等。 ），即便是在這偏僻的中學當預科班的數學老師的時候，他為了能夠讓自己的學生們更好地理解微積分中最重要的極限概念，而改變了柯西等人當時對極限的定義，創造了著名的、直到今天大學數學分析教科書中一直沿用的極限的ε-δ定義，以及完整的一套類似的表示法，使得數學分析的敘述終於達到了真正的精確化。
一直到1853年，魏爾斯特拉斯將一篇關於阿貝爾函式的論文寄給了德國數學家克雷爾主辦的《純粹與套用數學雜誌》（常常簡稱《數學雜誌》），這才使他時來運轉。克雷爾的雜誌素以向有創造力的年青數學家開放而著稱。阿貝爾的論文在受到柯西等名家冷落的情況下卻被克雷爾雜誌在1827年刊登出來；雅可比的橢圓函式論論文、格林的位勢論論文等數學史上的重要文獻，也都是在別處得不到發表而在克雷爾的幫助下用他的雜誌發表的。這一次克雷爾又出場了。他接受了魏爾斯特拉斯的論文並在第二年就發表出來，隨即引起了轟動。哥尼斯堡大學一位數學教授親自到魏爾斯特拉斯當時任教的布倫斯堡中學向他頒發了哥尼斯堡大學博士學位證書。普魯士教育部宣布晉升魏爾斯特拉斯，並給了他一年假期帶職從事研究。此後，他再也沒有回到布倫斯堡。1856年，也就是他當了15年中學教師後，魏爾斯特拉斯被任命為柏林工業大學數學教授，同年被選進柏林科學院。他後來又轉到柏林大學任教授直到去世。
學術貢獻
德國數學家黎曼1、在解析函式方面
他用冪級數來定義解析函式，並建立了一整套解析函式理論，與柯西（Cauchy，Augustin-Louis ，1789.8.21-1857.5.23）、黎曼（Riemann，Georg Friedrich Bernhard ，1826.9.17-1866.7.20）一起被稱為函式論的奠基人。從已知的一個在限定區域內定義一個函式的冪級數出發，根據冪級數的有關定理，推導出在其它區域中定義同一函式的另一些冪級數，這是他的一項重要發現。他把整函式定義為在全平面上都能表示為收斂的冪級數的和的函式；還斷定，若整函式不是多項式，則在無窮遠點有一個本性奇點。魏爾斯特拉斯關於解析函式的研究成果，組成了現今大學數學專業中複變函數論的主要內容。
2、在橢圓函式方面
橢圓函式是雙周期亞純函式，是從求橢圓弧長引起的。有關研究是19世紀的熱門課題。繼阿貝爾、雅克比之後，魏爾斯特拉斯在這方面作出了巨大貢獻。1882年，他將橢圓函式分別化成含有一個三次多項式的平方根的3個不同形式，把通過“反演”的第一個積分所得的橢圓函式作為基本的橢圓函式，還證明了這是最簡單的雙周期函式。他證明了每個橢圓函式均可用這個基本橢圓函式和它的導函式簡單地表示出來。總之，魏爾斯特拉斯把橢圓函式論的研究推到了一個新的水平，進一步完備了、改寫了、並且美化了其理論體系。
3、在代數領域
1858年，他對同時化兩個二次型成平方和給出了一般方法，並證明了若二次型之一是正定的，即使某些特徵值相等，這個化簡也是可能的。1868年，他已完成二次型的理論體系，並將這些結果推廣到了雙線性型。
4、在變分學方面
1879年，他證明了弱變分的3個條件，即函式取得極小值的充分條件。此後，他轉向了強變分問題，並得到了強變分的極大值的充分條件。在變分學方面還得到了不少的其它成果。
5、在微分幾何方面
魏爾斯特拉斯研究了側地線和最小曲面。
微積分6、在數學分析方面
在數學史上，魏爾斯特拉斯關於分析嚴格化的貢獻使他獲得了“現代分析之父”的稱號。他是把嚴格的論證引進分析學的一位大師，為分析嚴密化作出了不可磨滅的貢獻，是分析算術化運動的開創者之一。這種嚴格化的突出表現是創造了一套語言，用以重建分析體系。他批評柯西等前人採用的“無限地趨近”等說法具有明顯的運動學含義，代之以更嚴密的 表述，用這種方式重新定義了極限、連續、導數等分析基本概念，特別是通過引進以往被忽視的一致收斂性而消除了微積分中不斷出現的各種異議和混亂。可以說，數學分析達到今天所具有的嚴密形式，本質上歸功於魏爾斯特拉斯的工作。
他證明了（1860）：任何有界無窮點集，一定存在一個極限點。早在1860年的一次演講中，他從自然數導出了有理數，然後用遞增有界數列的極限來定義無理數，從而得到了整個實數系。這是一種成功地為微積分奠定理論基礎的理論。
為了說明直覺的不可靠，1872年7月18日魏爾斯特拉斯在柏林科學院的一次講演中，構造了一個連續函式卻處處不可微的例子，由此一舉改變了當時一直存在的“連續函式必可導”的重大誤解，震驚了整個數學界！這個例子推動了人們去構造更多的函式，這樣的函式在一個區間上連續或處處連續，但在一個稠密集或在任何點上都不可微，從而推動了函式論的發展。
早在1842年，魏爾斯特拉斯就有了一致收斂的概念，並利用這一概念給出了級數逐項積分和在積分號下微分的條件。
1885年，魏爾斯特拉斯所證明的用多項式任意逼近連續函式的定理，是二十世紀的一個廣闊研究領域函式構造論，即函式的逼近與插值理論的出發點之一。
另外，魏爾斯特拉斯還研究了天文學中的n體問題和光的理論。
教育上的貢獻
俄國著名女數學家柯瓦列夫斯卡婭魏爾斯特拉斯一生熱愛數學，熱愛教育事業，熱情指導學生，終身孜孜不倦。他不計個人名利，允許學生們或別人把他的研究成果用種種方式傳播，而不計較功績誰屬的問題，這種高貴品德也是十分可貴的。他培養出了一大批有成就的數學人才，尤其是世界歷史上第一位數學女博士：柯瓦列夫斯卡婭（Софья Васильевна Ковалевская，1850年1月15日－1891年2月10日，俄國女數學家。德國哥廷根大學哲學博士。曾任瑞典斯德哥爾摩大學教授。在偏微分方程和剛體鏇轉理論等方面有重要貢獻。1888年因解決剛體繞定點鏇轉問題而獲得法蘭西科學院鮑廷獎，並成為聖彼得堡科學院院士，是俄國歷史上獲此稱號的第一個女性。）。
要知道，在當時的整個歐洲社會風氣下，大多數人反對婦女受正規教育，婦女根本不能進大學的門！柯瓦列夫斯卡婭為了能在彼得堡進大學聽課，是付出了“假結婚”的代價，才脫離了父母的監護和控制。可即便如此，她在彼得堡也只能當一個偷偷摸摸的旁聽生，在丈夫、親戚和好心的同學們掩護下，一次次躲過學校監察人員的眼睛。而當她和丈夫來到德國以後，雖然聽課的自由基本是有了，可無論是正式入學，還是參加考試，身為一個女性都面臨著極為嚴苛的歧視。柯瓦列夫斯卡婭雖然表現了極好的人品以及數學天賦，可是在海德堡卻找不到一位數學教授能夠收她為弟子，因為人言可畏。
於是柯瓦列夫斯卡婭不得不直接來柏林求助於人品有口皆碑的魏爾斯特拉斯。在親自考查並寫信詢問了海德堡這個特殊的女學生的數學專業能力以及人品後，魏爾斯特拉斯深深為索菲婭・柯瓦列夫斯卡婭的抱負所感動。於是他決定單獨在家裡教授她（因為他自己的學生里就有不少堅決反對女子入學的）——這一教，就是四年！
四年里，一直都是魏爾斯特拉斯在課堂講一遍，再回家裡為柯瓦列夫斯卡婭單獨講一遍。四年中，索菲婭・柯瓦列夫斯卡婭不僅完成了所有大學課程，而且還完成了三篇重要的數學論文，而這時她才23歲。這三篇論文每一篇都足以使她獲得“數學家”的稱號。於是，又是魏爾斯特拉斯親自張羅，才讓既是受歧視的女性、又是德語並不純熟的“外來戶”的柯瓦列夫斯卡婭順利拿到了數學博士學位。而未來這個女學生的成就，足以證明她導師愛惜人才、培養人才的眼光之準，心胸之寬闊。
柏林工業大學魏爾斯特拉斯很少正式發表自己的研究成果，他的許多思想和方法主要是通過他在柏林工業大學和柏林大學的課堂講授而傳播的，其中有一些後來由他的學生整理髮表出來。在1857年開始的解析函式論課程中，魏爾斯特拉斯給出了第一個嚴格的實數定義，這個定義大意是先從自然數出發定義正有理數，然後通過無窮多個有理數的集合來定義實數。像大多數情況一樣，魏爾斯特拉斯只是在課堂上作了講授。1872年，有人曾建議他發表這一定義，但被魏爾斯特拉斯拒絕了。
他高尚的風範和精湛的教學藝術是永遠值得全世界數學教師學習的光輝典範。1873年魏爾斯特拉斯出任柏林大學校長，從此成為大忙人。除教學外，公務幾乎占去了他全部時間，使他疲乏不堪。緊張的工作影響了他的健康，但其智力未見衰退。他的70年誕慶典規模頗大，遍布全歐各地的學生趕來向他致敬。10年後80大壽慶典更加隆重，在某種程度上他簡直被看作德意志的民族英雄。1897年初，他染上流行性感冒，後轉為肺炎，終至不治，於2月19日溘然上逝，享年82歲。
除柏林科學院外，魏爾斯特拉斯還是哥廷根皇家科學學會會員（1856）、巴黎科學院院士（1868）、英國皇家學會會員（1881）。
分析的算術化
英國數學家、物理學家牛頓儘管早期的微積分的概念還比較粗糙，可靠性還受到懷疑，但它在計算技術上展示出來的那種卓越的力量，使得前此一切傳統數學都相形見絀。透過微積分的發明，人們看到了數學的新的福地。整個十七、十八世紀，幾乎所有的歐洲數學家都對微積分表現出極大的興趣和積極的奉獻。對傳統的批判，對新方法的追求，對新領域的拓展，使他們共同譜寫了一曲數學史上的“英雄交響曲”！
正如當代分析大師R.Courant指出：“微積分…這一學科乃是一種撼人心靈的智力奮鬥的結晶；這種奮鬥已經經歷了兩千五百多年之久，它深深紮根於人類活動的許多領域。並且，只要人們認識自己和認識自然的努力一日不止，這種奮鬥就將繼續不已。”
“分析算術化”就是這種奮鬥的一個側面的生動體現。
揮之不去的“幽靈”
德國數學家萊布尼茨
英國主教喬治·貝克萊
英國數學家麥克勞林Leibniz在1695年的《教師學報》的一篇文章中對此作了各種回答，他承認無窮小不是簡單的、絕對的零，而是相對的零。就是說，它是一個消失的量，但仍保持著它那正在消失的特徵。Leibniz更強調他所創造的東西在做法上或算法上的價值。他確信只要他清楚地表述並且恰當地運用他的運算法，就會獲得合理而正確的結果，而不管所用符號的意義怎樣可疑。
隨著微積分的概念與技巧的擴展，人們努力去補充被遺漏的基礎。Newton的英國追隨者試圖把微積分和幾何或物理概念聯結起來時，卻把Newton的“瞬”（moments,不可分增量）和“流數”（fluxions,連續變數）混淆了；追隨Leibniz的大陸學者致力於形式演算，也無法把概念嚴格化。法國數學家M.Rolle告誡說：微積分是巧妙的謬論的匯集。
十八世紀對微積分最強有力的批評來自George Berkeley主教。1734年，他發表了《分析學者，或致一個不信教的數學家。其中審查現代分析的對象、原則與推理是否比之宗教的神秘與信條，構思更為清楚，或推理更為明顯》。Berkeley正確地批判了Newton的許多論點，他說Newton首先給出x一個增量，然後又讓它是零，這違背了“背反律”(the law of contradiction)，而且所得的“流數”實際上是 00 。對於dy與 dx之比，Berkeley說它們“既不是有限量也不是無窮小量，但又不是無”，這些變化率只不過是“消失的量的鬼魂”(the ghosts of departed quantities)。Berkeley還攻擊l’Hospital和其他歐洲學者提出的微分法。Berkeley說微分之比應該決定割線而不是決定切線，依靠“忽略高級無窮小消除誤差”的做法是“錯誤互相抵償”。Berkeley的批評一針見血，擊中要害。
按照數學本質的現代觀點，Berkeley批評中哲學的想像多於數學的嚴格，但Newton 所用的很多名詞確實需要邏輯上的澄清。Berkeley批評的意義在於使這一事實引起了重視。結果，在此後的七年中，出現了約有30多種小冊子和論文，企圖糾正這種情形。如James Jurin於1734年發表《幾何學，非不信教的朋友》，Benjamin Robins在1735年著書《論Newton爵士的流數法以及最初比與最終比方法的本質與可靠性》。為了答覆Berkeley對Newton在《求積術》中給出的求流數方法的異議，Jurin說：在這種情況下，不是令增量為零，而是讓增量“成為消失”或“處在消失點上”，並聲稱“消失的增量是有最終比的”。Jurin回答表明他沒有足夠地理解Berkeley的論證或極限概念的本質。Berkeley在《捍衛數學中的自由思想》（1735）中批評Jurin是在“捍衛他所不了解的東西”。在這篇著作中，Berkely再次抓住Newton觀點中的矛盾，以說明瞬、流數和極限等概念的含糊不清。Jurin同年在《小小數學家》中的回答，依然是躲躲閃閃地重複其辭。他說“一個初生的增量是一個剛開始存在於烏有中的增量，或剛開始生長的增量，但是還沒有達到任何可指定的無論怎樣小的量。”他對Newton的最終比還是照字義理解為“在消失那個瞬間的它們的比。”Jurin不用極限去解釋Newton關於乘積的“瞬”的引理，反而讓自己捲入了無窮小量的糾纏之中，可見這個“消失的量的鬼魂”是很難揮之而去的。
為了回擊Berkeley, Colin Maclaurin在他的《流數論》（1742）中，企圖建立微積分的嚴密性。Maclaurin喜愛幾何，因而他試圖根據希臘幾何和窮竭法建立流數學說，他希望這樣可以避開極限概念。這是一個值得讚揚，卻不正確的努力。
新的探路者
瑞士數學家歐拉
法國數學家達朗貝爾
法國數學家拉格朗日
法國數學家和工程師拉扎爾·卡諾
德國數學家高斯歐洲大陸的數學家更多的依靠代數表達式的形式演算，而不是幾何。這種方法的代表是Euler。Euler拒絕把幾何作為微積分的基礎，而是純粹形式地研究函式。
Euler形式化的方法的真正貢獻是把微積分從幾何中解放出來，而使它建立在算術和代數的基礎上。這一步至少為基於實數系統的微積分的根本論證開闢了道路。但是，對這種形式主義的做法，仍有人表示憂慮。1743年d’Alembert說，“直到現在，表現出更多關心的是去擴大建築，而不是在入口處張燈結彩；是把房子蓋的更高些，而不是給基礎補充適當的強度。”不過，他鼓勵學習微積分的學生：“堅持，你就會有信心。 (Persists and faith will come to you.)”
Lagrange也決心給微積分提供全部的嚴密性，這從他《解析函式論》（1797）的小標題“包含著微積分學的主要定理，不用無窮小、或正在消失的量、或極限和流數等概念，而歸結為有限量的代數分析藝術”可以看出他的雄心壯志。的確，流數法沒有引起Lagrange的興趣，因為它引用了”運動”這一無關的思想。Euler把dx和dy作為0的講法也不能使他滿意，因為對兩個變成零的項的比，缺乏清楚而明確的認識。Lagrange致力於尋找一個簡單的代數方法。在1759年，他似乎滿足地認為已找到這個方法，因為在那一年，他寫信給Euler說，他相信已研究出力學和微分學原理儘可能深的真正理論基礎。不過，特別要指出，Lagrange的工作純粹是形式的，他用符號表達式來進行計算，不涉及極限、連續等根本性的概念。
在十八世紀行將結束的時候，1797年出現了Lazare Carnot所寫的《關於無限小微積分的哲學思想》，這可能是解決困難的一次最著名的嘗試。鑒於當時流行的有關微積分學的論文缺乏明確性和統一性，Carnot想搞出一套嚴格精確的理論。考慮到這一學科許多矛盾的理解，Carnot的目的是澄清“無限小分析真正的精神是什麼。”在選擇統一的原理時，卻做出了一個遺憾的選擇。他總結說，“無限小分析的真正的哲學原理…仍然是…誤差補償原理。”在闡述這一觀點時，他實質上返回到Leibniz表達過的思想上去。他主張要肯定兩個指定量嚴格相等，只要證明它們的差不能是一個“指定量”就夠了。Carnot進一步注釋Leibniz的觀點說：我們可以把任意一個量換成另一個與它相差無限小的量；無限小的方法只不過是把窮竭法簡化為一種計算方法；“無法感覺的量”只起輔助作用，引入它只是為了計算的方便，在得到最後結果以後就可以消除它。
Carnot甚至用連續性定律(principle de continuite)來重複Leibniz所偏愛的解釋。他說，可以有兩種觀點來理解無限小分析，看你是把無限小當作“有效量”，還是當作“絕對的零”。在第一種情況中，Carnot認為微分學可以用誤差補償作為基礎來解釋：“不完美方程”通過消除一些稱為誤差的量這一簡便的手段，就變成“完美精確”的了；在第二種情況，Carnot認為微分學是相互比較消失量的一種“藝術”，從這些比較中尋找出那些給出量之間的關係。對於消失量既是零又不是零這種反對意見，Carnot回答說，“所謂無限小量並不是任意的零，而是為決定關係的那個連續性定律所給出的零。”雖然Carnot的著作受到了普遍的歡迎，直到1921年還在法國出版，並譯成了好幾種文字，但很難評價它是否正確引導了人們對分析學所包含的困難有較清楚的理解。
Carnot是一個著名的軍人、行政人員，並受到法國議會授予的“勝利的組織者”(Organizer of Victory)的稱號。作為一個強調數學的價值是與科學套用關係的數學家，分析學在他的思想中是方程而不是函式概念，儘管從他的書名看是偏重於理論，但書中對運算法則在套用上的方便，比所涉及的邏輯推理更加受到注意。
十八世紀的幾乎每一個數學家都對微積分的邏輯基礎作了一些努力，雖然一二個路子對頭，但所有的努力都沒有結果。在缺乏基礎的情況下，怎么對各種函式進行分析演算呢？那就是：在他們的心裡依靠物理和直觀，在他們的手中有著簡單的代數函式——從簡單而具體的函式中發現性質，然後推廣到所有的函式上去。他們施展了高超的技巧，發掘並增進了微積分的威力，大刀闊斧的拓展新的領地：無窮級數、微分方程、微分幾何和變分法，從而建立起現在數學中最廣闊的領域——數學分析。
十八世紀的數學家們完全陶醉於自己取得的偉大成就，對於失去的嚴密性大都無動於衷。正是因為十八世紀的數學家們在沒有邏輯支持的情況下，仍如此勇敢地衝殺向前，所以這段時期被稱為數學的“英雄年代(the heroic age ) ” 。
分析中注入嚴密性
俄羅斯數學家羅巴切夫斯基
捷克數學家波爾查諾
挪威數學家阿貝爾
法國數學家柯西
德國數學家希爾伯特“人們在分析中確實發現了驚人的含糊不清之處。這樣一個完全沒有計畫和體系的分析，竟有那么多人能研究它，真是奇蹟。最壞的是，從來沒有嚴格對待過分析。在高等分析中只有很少幾個定理是用邏輯上站得住腳的方式證明的。人們到處發現這種從特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是這種方法只導致了極少幾個所謂的悖論。”
真正在分析中注入嚴密性的工作是從Bolzano、Cauchy、Abel和Dirichlet的工作開始，而由Weierstrass進一步發展了的。
Bolzano是波希米亞的教士和哲學家。1799年Gauss曾從幾何方面考慮，給出了代數基本定理—— 每一個有理的整數次方程必有一根 ——的一個證明。而Bolzano想要有一個單從算術、代數與分析推導出來的證明。正如Largrange認為沒有必要將時間與運動引入數學一樣，Bolzano在他的證明中力求避免涉及空間直觀。這樣，首先就需要有一個合適的連續性定義。
實際上，當Pythagoras學派以數去代替幾何量時，所遇到的就是連續性的困難；Newton試圖藉助連續運動的直觀來避免這個困難，Leibniz則用他的連續性公設來繞過這個問題。如今，分析學又把數學家們領回到了歷史的起點。使得數學史家們困惑不解的是這一歷史性的突破，為什麼會發生在遠離歐洲數學中心的布拉格！Bolzano第一次明確指出連續觀念的基礎存在於極限概念之中：函式f(x)如果對於一個區間內的任一值x，和無論是正或負的充分小的Δx，差f(x+Δx)- f(x)始終小於任一給定的量時，Bolzano定義這個函式在這個區間內為連續。 這個定義和稍後Cauchy的定義沒有什麼主要的差別。1843年，Bolzano給出了一個不可微分的連續函式的例子——這個例子在數學中作用，好比判決性實驗(crucial experiment) 在科學中一樣，澄清了幾個世紀以來由幾何或物理的直觀所造成的印象，表明連續函式未必有導數！然而，由於Bolzano的工作大部分湮沒無聞，他的這些觀點對當時的微積分並未產生決定性的影響。關於連續函式不可微分的問題，也要等到三分之一世紀以後，由Weierstrass的著名的例子才再次引起人們的關注。
也許Weierstrass的例子沒有早出現反到是微積分發展史上的幸事，正如Emile Picard在1905年所說的那樣：“如果Newton和Leibniz知道了連續函式不一定可導，微分學將無以產生。”的確，嚴謹的思想有時也可以阻礙創造。
在關於微積分基礎的混沌一片的爭議中，Cauchy看出核心問題是極限。Cauchy的極限概念是基於算術的考慮的，但他在定義中“一個變數無限趨於一個極限”的說法，受到Weierstrass的批評 “這種說法不幸的使人們想起時間和運動”。為了消除Bolzano和Cauchy在定義函式連續性和極限中用到的描述性的語言“變為而且保持小於任意給定的量”的不確定性，Weierstrass給出了著名的“ε-N（ε-δ）”定義。“ε-N（ε-δ）”定義第一次使極限和連續性擺脫了與幾何和運動的任何牽連，給出了只建立在數與函式概念上的清晰的定義，從而使一個模糊不清的動態描述，變成為一個嚴密敘述的靜態觀念，這不能不認為是變數數學史上的一次重大創新。今天“ε-N（ε-δ）”語言的精髓已經深入到現代數學的每一根血管,牽動著每一根神經。正因如此，Hilbert認為：“Weierstrass 以其酷愛批判的精神和深邃的洞察力，為數學分析建立了堅實的基礎。通過澄清極小、極大、函式、導數等概念，他排除了在微積分中仍在出現的各種錯誤提法，掃清了關於無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源於無窮大、無窮小朦朧思想的困難。······今天，分析學能達到這樣和諧可靠和完美的程度······本質上應歸功於Weierstrass 的科學活動”。
在極限有了嚴格的定義後，無窮小作為極限為0的變數，被歸入到函式的範疇，再也不是混在Archimedes數域裡的一個桀驁不馴的冥靈了。
在極限、無窮小和函式的連續性等概念得到澄清後，分析中一些重要的性質陸續登場。Weierstrass在1860年套用Bolzano的“最小上界原理”證明了“聚點原則”，在柏林的講義中，Weierstrass證明了閉區間上連續函式的最值定理。1870年，Heine定義了一致連續性，而後證明有界閉區間上連續函式一致連續。在Heine的證明中，他利用了“有限覆蓋”性質，這一性質後為Emile Borel敘述為一個獨立的定理(1895)。“區間套”的性質要到1892年才為Bachmann所認識。連續性與可微性、連續性與可積性、無窮級數的收斂性也都得到了深入的研究。
分析算術化
法國數學家拉普拉斯
德國數學家康托爾
德國數學家戴德金
義大利數學家皮亞諾
德國數學家克羅內克
法國數學家龐加萊分析的嚴密化促進了這樣的認識：對於數系缺乏清晰的理解這件事本身非補救不可。例如Bolzano關於閉區間連續函式的“零點定理”的證明，一個關鍵的錯誤就是因為對實數系缺乏足夠的理解；對於極限的深入研究，也需要理解實數系。Cauchy不能證明他自己關於序列收斂準則的充分性，也是由於他對實數系的結構缺乏深入的理解。Weierstrass指出，為了要細緻地建立連續函式的性質，需要算術連續統的理論——這正是分析算術化的根本基礎。
1872年，是近代數學史上最值得紀念的一年。這一年，F.Kline提出了著名的“埃爾朗根綱領”（Erlanger Programm），Weierstrass給出了處處連續但處處不可微函式的著名例子。也正是在這一年，實數的三大派理論：Dedekind“分割”理論；Cantor、Henie、Meray的“基本序列”理論，以及Weierstrass的“有界單調序列”理論，同時在德國出現了。
努力建立實數的目的是為了給出一個形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又避免用極限來定義無理數的邏輯錯誤。有了這些定義做基礎，微積分中關於極限的基本定理的推導，才不會有理論上的循環。導數和積分從而可以直接在這些定義上建立起來，免去任何與感性認識聯繫的性質。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發展的漫長歲月的過程中已經被證明。因此，必要的嚴格性只有通過數的概念，並且在割斷數的概念與幾何量觀念的聯繫之後才能完全達到。這裡，Dedekind的工作受到了崇高的評價，這是因為，由“Dedekind分割”定義的實數，是完全不依賴於空間與時間直觀的人類智慧的創造物。
1858年，Dedekind在講授微積分的時候就表示出要尋求使分析嚴格化途徑的願望，他說：“…決不能認為以這種方式引入微分學是科學的。這一點已經得到公認。至於我本人，也無法克制這種不滿意的感覺而下定決心研究這個問題，直到建立為無窮小分析原理建立純粹算術的和完全嚴格的基礎為止。”Dedekind不去考慮如何定義無理數，才能避免Cauchy的惡性循環，而是考慮如果算術方法明顯失敗，在連續幾何量中，究竟存在什麼使它解決了這個困難：即連續性的本質是什麼？沿著這個方向去思索，Dedekind了解到一條直線的連續性，不能用模糊的聚在一起來說明，而只能作為將直線用點來劃分的性質。他看出將直線上的點分成兩類，使一類中的每點都在另一類中每點的左邊，則存在一點而只有一點，產生這個劃分(cut)。這對有序的有理數系是不成立的。這就是為什麼直線上的點構成一個連續統（continuum），而有理數則不可能。正如Dedekind所說，“由這樣的平凡之見，暴露了連續性的秘密。”
實數的三大派理論本質上是對無理數給出嚴格定義，從而建立了完備的實數域。實數域的構造成功，使得兩千多年來存在於算術與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數不再是“無理的數”了，古希臘人的算術連續統的構想，也終於在嚴格的科學意義下得以實現。
接下來的目標是給出有理數的定義與性質。Ohm、Weierstrass、Kronecker、Peano在這方面做出了傑出的工作。在1859年前後，Weierstrass等人就認識到：只要承認了自然數，建立實數就不再需要進一步的公理了。因此建立實數理論的關鍵是有理數系，而建立有理數系的核心，就在於構造普通整數的基礎並確立整數的性質。1872-78年間，Dedekind給出了一個整數理論。
1889年，Peano最先利用公理化的方法，用一組公理引進了整數，從而建立了完備的自然數理論。Peano創設的符號， 如“∈”表示屬於，“ ”表示包含，N0表示自然數類，a+表示後繼於a的下一個自然數，對今天仍影響深遠。可誰能相信正是因為他在課堂上也使用這些符號，因而學生們造了反，他試著用全部及格的辦法去滿足他們，但沒有起作用。因而他被迫辭去在Turin大學的教授職位。
Kronecker說：“上帝創造了整數，其它一切都是人造的”(God made the integers, all the rest is the work of man)。(參考文獻[5],p477)但是，在分析算術化的進程中，整數並沒有因為是上帝的寵兒而得到它的豁免權。
尋求統一是數學發展的重要動力。回溯“分析算術化”的整個歷程，我們發現在起跑處人們並不知道終點在那裡，也更不知道路該怎么走。從Pythagrass學派關於不可公度量的發現，到Zeno悖論引發的對無限概念的關切，從而孕育了導致微積分的各種研究。當Dedekind、Cantor、Weierstrass等人把無理數建立在有理數的基礎上，而最後由Peano給出自然數的邏輯公理，終於完成了有理數論,因此實數系的基礎問題最終宣告完備。微積分學的基本概念——連續變數的極限：導數和積分，在邏輯上的嚴密性，在形式上的嚴謹性，有如Euclid幾何學一般的令人讚嘆！中國的先哲們有句古話：九九歸一！如果我們把這裡的“一”理解為自然數之首的“1”，那么，關於微積分學的歷史發展，Pythagoras的名言是驚人的貼切：萬物皆數！（All is number.）
1900年,在巴黎舉行的第二屆國際數學大會上，Poincare不無自豪的讚嘆到： “今天在分析中，如果我們不厭其煩地嚴格的話，就會發現只有三段論或歸結於純數的直覺是不可能欺騙我們的。今天我們可以宣稱絕對的嚴密已經實現了。”
