定義
非負整數，（教科書上的概念）是正 整數和 零，也叫做自然數。正整數例如：1，2，3，4．．．．．像這樣的數就是正整數。 非負整數不僅只有正整數，還有零。
這名詞在使用初期，也有人以為是“非負”是“真實”(faith)的翻譯，後來在 四川師範大學的一名研究生，在論證此問題時，發明了現在所謂的“非負整數”之概念，至今，這範圍仍在進行學術探討中。
非負整數一個給定的整數n可以是負數（n∈Z-），非負數（n∈Z*），零（n=0）或正數（n∈Z+）。
另外現在有些數學家認為“非負整數”應理解為不是負整數的數，即負分數、0、正數（這個會比較準確）
標準
在中國，2000年左右之前的中國小教材一般不將0列入自然數之內，或稱其屬於“擴大的自然數列”。在2000年左右之後的新版中國小教材中，普遍將0列入自然數。國際標準ISO31-11:1992《量和單位第十一部分：物理科學和技術中使用的數學標誌與符號》（已被ISO/IEC80000-2取代[10]）中，從集合論角度規定：符號所表示的自然數集是包括正整數和0。新修訂的ISO/IEC80000-2也規定：符號N或ℕ所表示的自然數集包括正整數和0。
中國於1993年制定的強制性國家標準《物理科學和技術中使用的數學符號》（GB3102.11-93）參照國際標準ISO31-11:1992規定[11]：表示“非負整數集；自然數集”，={0,1,2,3,...}。而正整數集應上標星號或下標加號，記作或。[12]
符號
數學家們使用N或來表示所有自然數的集合。為了明確的表示不包含0，正整數集合一般如下表示：N+或N*或
Z+或
而非負整數集合一般如下表示：
非負整數N0或
或
集合論者也通常把包括0的自然數集記作希臘字母的ω（小寫的歐米伽），因為第一個無窮序數便是ω。
不同理論之經典
“非”負整數
首先問問大家什麼是非負整數？這是初一的問題，很簡單就是指0或大於0的整數，例如：2、58、34、10……在這裡問大家一個問題：-2.5是否為非負整數？教科書的答案當然是：不是。但有的答案卻是：是。
因為“非負整數”從語文角度考慮：非即不是，非負整數即不是負整數的數。那么-2.5即為非負整數，那-2.5不是負整數！你會說-2.5、-3.56、-1.234……是負整數嗎？當然不會，你會大聲說：“它們不是負整數。”對了，它們都不是負整數，不是負整數即非負整數啊，換句話說-2.5等都是非負整數（0、1、23、45……等非負數大家公認，不予分析，非正整數大致也如此，不再分析）。
但是，為什麼大家或是說老師都說不是呢？首先，是老師先入為主的思想禁錮了大家的思想，二是“非負整數”給大多數人的第一印象是：非負的整數，即滿足兩個條件：一是不是負數，二是整數。因此，-2.5當然不是非負整數。這便是把“非負”看作一個整體，把“整數”看作一個整體，用“的”連線。而也可把“非”看作一個整體，“負整數”看作一個整體，再把“非”用“不是”代替。這是兩種不同的考慮問題的方式。
有人說這是“白馬非馬”，但我覺得不然，“白馬非馬”的理論之所以錯是因為馬也有白的，可是-2.5真的不是負整數！
非負整數即非負的整數
非負整數即非負的整數,而不是什麼非"負整數",非負是定語,整數是主語,這樣才是一個概念.如果非要扯成非"負整數",這是一個非是謂語,負整數是賓語的缺少主語的半個句子,是不應該用來作為一個概念的.要擊破上面這個瞎扯的偷梁換柱的曲解其實很簡單,爸爸媽媽是非負整數嗎?你會說爸爸媽媽是負整數嗎?當然不會,你會大聲說:"他們不是負整數."對了,他們不是負整數,不是負整數即非負整數啊,換句話說,爸爸媽媽爺爺奶奶等都是非負整數.看到這裡你作何感想?
非負整數即非負的整數,首先要滿足整數的大前提,才能用上非負的定語去細分區別,爸爸媽媽連整數都不是,當然也就不能去判斷是否非負整數了
性質
運算
對自然數可以遞歸定義加法和乘法。其中，加法運算“+”定義為：
a+0=a；
a+S(x)=S(a+x)，其中，S(x)表示x的後繼者。
如果我們將S(0)定義為符號“1”，那么b+1=b+S(0)=S(b+0)=S(b)，即，“+1”運算可求得任意自然數的後繼者。
如此，便可得出交換么半群(N,+)，是由1生出的自由么半群，其中麼元為0。此么半群服從消去律，可嵌入一群內：最小的是整數群。
同理，乘法運算“×”定義為：
a×0=0；
a×S(b)=a×b+a
(N,×)亦是交換么半群；
×和+符合分配律：自然數的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。
帶餘除法
對於兩個自然數a,b，不一定有自然數c使得。所以若用乘法的逆來定義除法，這個除法不能成為一個二元運算（即不符合封閉性，即使不允許除以0）。但我們可以用帶餘除法作為替代。
現設a,b為自然數，，則有自然數q和r使得a=bq+r且r<b。這裡的q稱為a除以b的商，r稱為a除以b的餘數。數對(q,r)是被a,b所唯一決定的。
一個例子是，也就是。這裡a=62，b=7，q=8，r=6。
帶餘除法在數論中有不少用途，比如說輾轉相除法的基本步驟就是帶餘除法。
序
我們說若且唯若有自然數使得。當而a不等於b時，記作a<b。
二元關係在自然數集上符合：
自反性：若a是自然數，則；
反對稱性：設a,b是自然數。若且，則a=b；
傳遞性：設a,b,c都是自然數。若且，則；
完全性：對於任意兩個自然數a,b，有且只有下列兩種關係之一：或。
（或者等價的三分性：a<b，a=b，或a>b）
因為符合以上的四種性質，所以是一全序。
事實上，是一個良序集，即每個非空子集都有一個最小的自然數。此亦是最小數原理的陳述。
此序也和加法及乘法兼容，即若a,b,c都是自然數且，則及。
無限性
自然數集是一個無窮集合，自然數列可以無止境地寫下去。
對於無限集合來說，“元素個數”的概念已經不適用，用數個數的方法比較集合元素的多少只適用於有限集合。為了比較兩個無限集合的元素的多少，集合論的創立者德國數學家康托爾引入了一一對應的方法。這一方法對於有限集合顯然是適用的，現推廣到無限集合，即如果兩個無限集合之間能建立一個一一對應，我們就認為這兩個集合的元素是同樣多的。對於無限集合，我們不再說它們的元素個數相同，而說這兩個集合等勢，或者說，這兩個集合的基數相同。自然數集的基數是阿列夫零，記作。
與有限集對比，無限集有一些特殊的性質，其一是它可能與自身的真子集有一一對應的關係，例如:
01234…（自然數集）
↕↕↕↕↕
13579…（奇數組成的集合）
這就是說，這兩個集合有同樣多的元素，或者說，它們是等勢的。大數學家希爾伯特曾用一個有趣的例子來說明自然數的無限性：如果一個旅館只有有限個房間，當它的房間都住滿了時，再來一個旅客，經理就無法讓他入住了。但如果這個旅館有無數個房間，也都住滿了，經理卻仍可以安排這位旅客：他把1號房間的旅客換到2號房間，把2號房間的旅客換到3號房間，……如此繼續下去，就把1號房間騰出來了。
和自然數集等勢的集合有：
由自然數的有限序列組成的集合
整數集
有理數集
代數數集
可數個可數集合的並集
自然數集的勢嚴格小於實數集的勢，即兩者間不能建立一一對應（詳見對角論證法）。事實上，實數集的勢是，即自然數集的冪集的勢。
分類
奇偶性
可分為奇數和偶數。
1、奇數：不能被2整除的數叫奇數。
2、偶數：能被2整除的數叫偶數。
也就是說，一個自然數要麽是奇數，要麽就是偶數。
註：0是偶數。
因數個數
可分為質數、合數、1和0。
1、質數：只有1和它本身這兩個因數的自然數叫做質數。也稱作素數。
2、合數：除了1和它本身還有其它的因數的自然數叫做合數。
3、1：只有1個因數，就是它自身。它既不是質數也不是合數。
4、0和1一樣，既不是質數也不是合數。
自然數列
數列1,2,3,4,5,…n,...稱為自然數列（OEIS中的數列A000027）。自然數列不包括0。
自然數列的通項公式an=n。
自然數列的前n項和Sn=n(n+1)/2。Sn=na1+n(n-1)/2
自然數列本質上是一個等差數列，首項a1=1，公差d=1。
嚴格定義
戴德金-皮亞諾結構
一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組（X,x,f）：
X是一集合，x為X中一元素，f是X到自身的映射。
x不在f的值域內。（對應上面"定義"一節的公理4）
f為一單射。（對應上面的公理3）
若A為X的子集並滿足：
x屬於A；
若a屬於A，則f（a）亦屬於A
則A=X。
集合論形式的構造
一個標準的構造方法如下：
定義，代表空集。
然後對於任何集合a，設。S(a)稱為a的後繼，S相當於後繼函式。
根據無窮性公理，自然數集存在。考慮所有包含0且在S之下封閉的集合，然後取它們的交集就得到了自然數集。可以驗證這些集合是符合皮亞諾公理的。
如此，每個自然數都等同於由所有更小的自然數所組成的集合，即在此定義下，在集合n內就有n個元素；而若n小於m，則n會是m的子集。
所有自然數之和
如果我們考慮無窮級數，將其（不正式地）視為數列中所有項的和，在這種意義下我們可以說所有自然數的和是正無窮大，或記作1+2+3+4+...=+∞。（這是因為給定任意大的正數M，均存在某部分和，使其值大於M。）
但在弦論的某些結果中，1+2+3+4+5+6+7...=-1/12一式確實是有意義的。
在說明箇中原因前，我們可透過以下演示來"理解"為何這個和值會是-1/12。
首先我們需要一個等式：S1=1-1+1-1+1-1+1...=0.5
我們用：1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+1...)
=1-1+1-1+1-1+1...
=S1
所以得到：2S1=1，即S1=0.5
所以1-1+1-1+1-1+1...=0.5
還需要另外一個等式：S2=1-2+3-4+5-6...=0.25
我們用2S2=S2+S2=(1-2+3-4+5-6...)+(1-2+3+4+5-6...)
我們錯開一位來計算，得2S2=1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+...，所以2S2=1-1+1-1+1-1+1...
我們又回到了前面的一個等式，所以2S2=0.5
S2=0.25
下面我們只需要用S-S2=(1+2+3+4+5+6+7...)-(1-2+3-4+5-6+...)
=4+8+12...
我們提一個4出來令S-S2=4(1+2+3...)=4S
所以S-0.25=4S
-0.25=3S
S=-1/12
以上的演示固然是不嚴謹的。但是，所得的值卻是有意義的。事實上，我們可以用別的形式去得出該級數的一個廣義和，比如透過拉馬努金求和得出-1/12，也可以借用黎曼ζ函式，在s=−1時由ζ(s)的解析連續得出-1/12。
