纖維斜率

例子

以曲面纖維化為例。
設f:S→C是曲面S的纖維化。 S有三個相對不變數：K_f^2,χ_f,e_f.
這三個不變數都是非負整數，滿足Noether（X.諾特）公式：
12χ_f=K_f^2+e_f.
λ_f=K_f^2/χ_f稱為纖維化f的斜率（要求χ_f≠0）。
由諾特公式易知0<λ_f≦12.如果λ_f＝12，就稱f為小平邦彥纖維化。
當纖維虧格g>1時， 肖剛證明了λ_f≥(4-4/g).

資料

求斜率上界是個很有意思的問題。 在超橢圓纖維化情形，肖剛，Horikawa等求出了斜率上界。 高虧格情形則比較困難。此外，是否存在這樣的曲面纖維化，恰好達到斜率上界？這仍然是個公開問題。
給定斜率，是否有相應的曲面纖維化存在？ 這個問題和曲面地理學問題是類似的。