連通集

連通集是一類特殊的點集。它是從圓、多邊形這樣一些直觀上連成一片的圖形抽象得到的一個概念。

定義介紹

拓撲空間中具有連通性的子集稱為連通集。具有連通性的鄰域稱為連通鄰域。 如果拓撲空間 X 中子空間 A 不是連通集，那么稱 A 為不連通集。

特別地，n維區間、n維球是連通的。在某些重要的定理中，連通性是本質的前提，例如連續函式的介值定理只對定義在連通集上的連續函式成立。

連通性質

【connectivity】

拓撲空間不能表示為兩個非空不交開子集的並的性質稱為連通性。連通性等價於：

（1）空間 X 不能分解為兩個非空不交開子集的並；

（2） X 沒有既開又閉的非空真子集；

（3）X 的既開又閉的子集只有 X 和 ∅ 。

局部連通

【locally connected】

如果對於拓撲空間 X 的每一個點 x 的鄰域 U，都存在連通鄰域 V 滿足V⊂U，則稱 X 是局部連通的。