連通空間與局部連通空間
定義
定義1： 設X是一個拓撲空間。如果X中有兩個非空的隔離子集A和B,使得X= A∪ B，則稱X是一個不連通空間；否則，則稱X是一個連通空間。
定義2： 設X是一個拓撲空間。如果x∈ X的每一個鄰域中都包含著x的某一個連通的鄰域V，則稱拓撲空間在點x處是局部連通的。如果拓撲空間X在它的每一個點處都是局部連通的，則稱是一個局部連通空間。
相關定理
（1）定理1： 拓撲空間的兩個不同的連通分支是不相交的。
道路連通空間證明： 設A和B是兩個連通分支，且A∩ B≠ ，則由熊金誠的結果 可知，A∪ B是連通的，於是，A= A∪ B=B。
（2）定理2： 任何拓撲空間都等於它的連通分支的並集。
證明： 在拓撲空間X中，對於任意x∈ X，包含x的連通分支Cx是存在的，所以：
道路連通空間（3）定理3： 拓撲空間為局部連通的充分必要條件是每一開集的每一連通分支是開集。
證明： 設X是局部連通空間，U是X的一個開集，而C是U的一個連通分支。如果x∈ C，由於U是x的一個鄰域，所以x有一個連通鄰域V包含於U。又由於V∩ C包含著點x，所以不是空集。根據熊金程的《點集拓撲講義》 中的定理4.31，可見：
道路連通空間因此C是點x的一個鄰域。這證明C是屬於它的任何一個點x的鄰域，因此C是開集。反過來，如果每一個開集的連通分支都是開集，則每一點的每一開鄰域都包含連通的開鄰域，這就是此開鄰域的連通區。因此空間是局部連通的連通空間不一定是局部連通的空間 。
道路
較之於連通空間的概念，道路連通空間這個概念似覺更符合我們的直覺因而易於理解些，這裡先定義“道路”。
道路連通空間定義3：設x是一個拓撲空間，從單位閉區間[0,1]到X的每一個連續映射f ：[0,1] X叫做X中的一條道路，並且此時f (0)和f (1)分別稱為道路f的起點和終點。當x=f (0)和y=f (1)時，稱f是X中從x到y的一條道路。起點和終點相同的道路稱為閉路，並且這時，它的起點(也是它的終點)稱為閉路的基點。
如果f是X中的一條道路，則道路f的像集f ([0,1])稱為x中的一條曲線或弧，並且這時道路f的起點和終點也分別稱為曲線f ([0,1])的起點和終點 。
道路連通空間
定義
定義4：設X是一個拓撲空間，如果對於任何x, y,存在著X中的一條從x到y的道路(或曲線)，我們則稱X是一個道路連通空間。X中的一個子集Y稱為X中的一個道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個道路連通空間。
道路連通空間 道路連通空間 道路連通空間實數空間R是道路連通的，這是因為如果x, y R，則連續映射f: [0,1] R定義為對於任何t [0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為起點以y為終點的道路。也容易驗證任何一個區間都是道路連通的。
連通空間與道路連通空間
定理4：如果拓撲空間X是一個道路連通空間，則X必然是一個連通空間。
道路連通空間 道路連通空間 道路連通空間證明：對於任何x, y X，由於X道路連通，故存在從x到y的一條道路f：[0,1] X。這時曲線f ([0,1])，作為連通空間[0,1]在連續映射下的像，是X中的一個連通子集，並且我們有x, y f ([0,1])，因此根據定理5可見X是一個連通空間。
道路連通空間 道路連通空間定理5：設Y是拓撲空間X中的一個子集，任意x, y Y存在X中的一個連通子集Yxy使得x，y Yxy包含於Y，則Y是X中的一個連通子集。
連通空間可以不是道路連通的 。
局部連通空間與道路連通空間
局部連通空間不一定是道路連通的。
反例： 實直線R上的點集E=(- 1,0)∪(0,1)，並把E看成是R上的子空間，則E是局部連通的，但不是連通的。因為0點不屬於E 。
幾種連通之間的關係
定理5： 連通且局部道路連通的空間是道路連通的。
道路連通空間證明： 設X是連通且局部連通的空間，C是X的一個道路分支。由X的局部道路連通性，C是開集。X\C是其他道路分支的並集，故也是開集。由X的連通性C≠，可知X=C，即X是道路連通的 。
