定義
在數學， 貝爾函式是從獲得的連續函式的函式，通過形成的功能序列的逐點限制的操作的超限疊代。它們是由René-Louis Baire於1899年引入的。Baire集是一個特徵函式是Baire函式的集合。
貝爾函式分類
對於任何可數的序數α，α類的貝爾函式形成了在拓撲空間上定義的實值函式的向量空間，如下所示。
•Baire 0類函式是連續函式。
•Baire1類函式是那些Baire類0函式序列的逐點限制的函式。
•一般來說，Baire類α函式都是Baire類小於α的函式序列的點函式。
一些作者通過從類α的函式中去除小於α的類的所有函式來稍微不同地定義類。這意味著每個Baire函式都有一個定義良好的類，但給定類的函式不再構成一個向量空間。
亨利·勒貝格（Henri Lebesgue）證明了（對於單位區間的函式）每個可數序數的Baire類包含的函式不在任何較小的類中，並且存在不在任何Baire類中的函式 。
Baire class 1
例子：
貝爾函式任何微分函式的導數都是1類的。導數不連續（ x= 0）的可微函式的一個例子是等於 當 x≠0時，以及當 x= 0時為0。一個無限的相似函式的總和（通過有理數進行縮放和移位）甚至可以給出一個可微函式，其導數在稠密集上是不連續的。然而，它必然具有連續性點，這很容易從Baire表征定理中得到（ K= X= R）。
整數集合的特徵函式，如果 x是整數，則等於1，否則為0。（無數個大的不連續點）
Thomae函式，無理數 x為0，有理數 p/ q（簡約形式）為1 / q。（一組稠密的不連續性，即有理數的集合。）
貝爾函式
貝爾函式康托爾集合的特徵函式，如果 x在康托爾集合中，則等於1，否則為0。這個函式對於一組不可數的 x值是0，對於不可數組是1。它在任何等於1的地方都是不連續的，在任何等於0的地方都是連續的。它通過連續函式來近似 ，在哪裡 是Cantor集合中距離最近點的距離。
貝爾函式表征定理指出，在分支空間X上定義的實值函式f是Baire-1函式，若且唯若對於X的每個非空封閉子集K，f對K的限制都有一個相對連續點到K的拓撲。
通過Baire的另一個定理，對於每Baire-1功能的連續性的點是comeager ģ集（1995年Kechris，定理（24.14）） 。
Baire class 2
例子：
貝爾函式
貝爾函式
貝爾函式
貝爾函式
貝爾函式不屬於等級1的區間[0,1]上的Baire二類函式的一個例子是有理數的特徵函式， ，也被稱為Dirichlet函式。到處都是不連續的。這可以通過注意到，對於任何有限的理性集合而言，這個集合的指標函式是Baire 1：即函式 同樣收斂於指標函式 ，在哪裡 是理性的有限集合。由於理性是可數的，我們可以看看這些事情的點狀限制 ，在哪裡 是合理的列舉。根據上述定理，不是Baire-1：不連續點是整個區間 。
