謝爾賓斯基數

謝爾賓斯基數是指奇正整數k，使得所有形式如k × 2n + 1的數均為合數。1960年謝爾賓斯基證明有無限多個謝爾賓斯基數。1962年約翰·塞爾弗里奇證明78,557是謝爾賓斯基數，其k × 2n + 1的數都可被集3, 5, 7, 13, 19, 37, 73其中一個元素整除。它是已知最小的謝爾賓斯基數。在所有小於78557的整數中，還有10223、21181、22699、24737、55459和67607六個數不知道是不是謝爾賓斯基數。\n一個未解決問題是最小的謝爾賓斯基數是什麼。有一個分散式計算計畫Seventeen or Bust正嘗試解決這個問題。

解釋

謝爾賓斯基數問題是處理符合如下形式的數字： N = k * 2^n + 1 (對於奇數 k 和 n > 1) 具有這樣形式的數字被稱為普羅斯數 (Proth numbers) 。對於一個特定的值 k ， 取任意的 n 都可以使 N 成為一個合數 (Composite numbers) 那么這個 k 就可以稱為是一個謝爾賓斯基數 (Sierpinski number) 。謝爾賓斯基問題本身是： “什麼是最小的謝爾賓斯基數？” 。

概述

約翰·塞爾弗里奇 (John Selfridge) 40年前曾經證明 k=78557 是一個謝爾賓斯基數。 大多數數學家相信它就是最小的，但這一點還未得到證明。為了證明它，我們所需要做的就是證明每個更小的 k 都不是謝爾賓斯基數——也就是說，要對每一個 k<78557 找到一個 n，使得 N=k*(2^n)+1 是素數。

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