沿紙帶中心線剪開，會成為一個更大的紙帶；再沿這個紙帶中心線剪開，會變成兩個互相套著的紙帶
又稱：麥比烏斯圈 內有詳細介紹
麥比烏斯圈
故事
數學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然後只允許用一種顏色，在紙圈上的一面塗抹，最後把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要塗完一個面再重新塗另一個面，不符合塗抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？ 莫比烏斯環麥比烏斯帶的發現
對於這樣一個看來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。後來，德國的數學家麥比烏斯對此發生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。 有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕鬆舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。 一片片肥大的玉米葉子，在他眼裡變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發現，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圈圈。 麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。 圓圈做成後，麥比烏斯捉了一隻小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。” 麥比烏斯圈就這樣被發現了。奇妙的莫比烏斯帶 做幾個簡單的實驗，就會發現“麥比烏斯圈”有許多讓我們驚奇有趣的結果。你弄好一個圈,粘好,繞一圈後可以發現,另一個面的入口被堵住了,原理就是這樣啊.實驗一
如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開後竟是一個大圈兒。實驗二
如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開後的結果是什麼，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什麼呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發現，紙帶不一分為二，一大一小的相扣環。 有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。 關於麥比烏斯圈的單側性，可如下直觀地了解，如果給麥比烏斯圈著色，色筆始終沿曲面移動，且不越過它的邊界，最後可把麥比烏斯圈兩面均塗上顏色 ，即區分不出何是正面，何是反面。對圓柱面則不同，在一側著色不通過邊界不可能對另一側也著色。單側性又稱不可定向性。以曲面上除邊緣外的每一點為圓心各畫一個小圓，對每個小圓周指定一個方向，稱為相伴麥比烏斯圈單側曲面圓心點的指向，若能使相鄰兩點相伴的指向相同，則稱曲面可定向，否則稱為不可定向。麥比烏斯圈是不可定向的。 麥比烏斯圈還有著更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在麥比烏斯圈上獲得了解決。比如在普通空間無法實現的“手套易位問題”：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎么扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套。不過，倘若你把它搬到麥比烏斯圈上來，那么解決起來就易如反掌了。 “手套易位問題”告訴我們：堵塞在一個扭曲了的面上，左、右手系的物體可以通過扭曲實現轉換。讓我們展開想像的翅膀，構想我們的空間在宇宙的某個邊緣，呈現出麥比烏斯圈式的彎曲。那么，有朝一日，我們的星際太空人會帶著左胸腔的心臟出發，卻帶著右胸腔的心臟返回地球呢！瞧，麥比烏斯圈是多么的神奇！但是，麥比烏斯圈具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數學家費力克斯?克萊茵（Felix Klein，1849～1925），終於找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，後來以他的名字命名為“克萊因瓶”。這種怪瓶實際上可以看作是由一對麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。 “麥比烏斯帶”有點神秘，一時又派 不上用場，但是人們還是根據它的特性編出了一些故事，據說有一個小偷偷了一位很老實農民的東西，並被當場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發現小偷正是自己的兒子。於是在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉，而在紙的反面寫了：農民應當關押。縣官將紙條交給執事官由他去辦理。聰明的執事官將紙條扭了個彎，用手指將兩端捏在一起。然後向大家宣布：根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷。縣官聽了大怒，責問執事官。執事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應當”二字讀起，確實沒錯。仔細觀看字跡，也沒有塗改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉。 縣官知道執事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機報復。一日，又拿了一張紙條，要執事官一筆將正反兩面塗黑，否則就要將其拘役。執事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環上一划，又拆開兩端，只見紙條正反面均塗上黑色。縣官的毒計又落空了。 現實可能根本不會發生這樣的故事，但是這個故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點。莫比烏斯環
奇妙之處有三
一、莫比烏斯環只存在一個面。 二、如果沿著莫比烏斯環的中間剪開，將會形成一個比原來的莫比烏斯環空間大一倍的、具有正反兩個面的環（在本文中將之編號為：環0），而不是形成兩個莫比烏斯環或兩個其它形式的環。 三、如果再沿著環0的中間剪開，將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，且這兩個環是相互套在一起的（在本文中將之編號為：環1和環2），從此以後再沿著環1和環2以及因沿著環1和環2中間剪開所生成的所有環的中間剪開，都將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，永無止境……且所生成的所有的環都將套在一起，永遠無法分開、永遠也不可能與其它的環不發生聯繫而獨立存在。六個特徵
莫比烏斯環、環0和生成的所有的環的六個特徵： 一、莫比烏斯環是通過將正反面其中的一端反轉180度與另一端對接形成的，也因此它將正反面統一為一個面，但也因此而存在了一個“擰勁”，我們在此不妨稱之為“莫比烏斯環擰勁”1。 二、從莫比烏斯環生成為環0需要一個“演變的裂變”過程，此“演變的裂變”過程將“莫比烏斯環擰勁”分解成了因“相通”或“相連”從而分別呈現出“螺旋弧”向下和“螺旋弧”向上兩個方向“擰”的四個“擰勁”。這四個“擰勁”中的第一個和第三個的“擰勁”將正面轉化為反面，而第二個和第四個的“擰勁”再將反面轉化為正面，或者說是，這四個的“擰勁”中的第一個和第三個的“擰勁”將反面轉化為正面，而第二個和第四個的“擰勁”再將正面轉化為反面，使所生成的環0從而存在了“正反”兩個面。 三、從莫比烏斯環生成為環0的過程，還使環0具有了因相互轉換而最終呈現為同一個方向上的、性質不同的四個“擰勁”。“演變的裂變”過程將莫比烏斯環的“莫比烏斯擰勁”分解成環0中的四個“擰勁”，“莫比烏斯擰勁”的“能”也被生成了環0中的這四個“擰勁”的“能”，但環0中的這四個“擰勁”的“能”是“莫比烏斯擰勁”的“能”2倍，新生成的1倍於“莫比烏斯擰勁”的“能”的方向與原來的“莫比烏斯擰勁”的“能”的方向相反。 四、從莫比烏斯環生成為環0的過程，還使環0的空間比莫比烏斯環的空間增大了一倍。 五、從環0生成環n和環n+1的過程，環0中的四個“擰勁”的“能”不會增加，但從環0的“裂變”中，每“裂變”一次會增加一個環0的空間。 六、從環0生成環1和環2以及再“裂變”直至環n和環n+1後，所生成的所有的環n和環n+1都將套在一起，永遠無法分開、永遠也不可能與其它的環不發生聯繫而獨立存在。奇妙的啟示
從莫比烏斯環的三個奇妙之處和莫比烏斯環、環0以及生成的所有的環的六個特徵，我們得到奇妙的啟示： 一、無論將莫比烏斯環放在宇宙時空的任何地方，我們同樣也會發現莫比烏斯環之外的空間也只能是存在一個面，因此，宇宙時空的任何空間之處也只存在一個面。如果宇宙時空的任何空間之處只存在一個面，那么我們就可以認為宇宙時空中的任何一點與其它的點都是相通的，即整個宇宙時空是相通的，任何一點都是宇宙的中心，也是宇宙的邊緣，宇宙時空中的任何物質也都是一樣，也都處於宇宙的中心，也都處於宇宙的邊緣。 二：宇宙時空中的任何一個點都可以通過“裂變”的方式無中生有地生成一個對立的陰陽兩性。無論生成的這一個對立的陰陽兩性是否需要載體呈現出來，通過“裂變”的方式，無中生有地、生成的一個對立的陰陽兩性，都需要一個比原來的空間大一倍的空間，來體現這生成的、一個對立的陰陽兩性。 三： 只要存在“裂變”就會使原來的莫比烏斯環不再以“本來面目”存在，或者說，原來的莫比烏斯環已經不存在了。從無中生有的、生成的、具有一個對立的、陰陽兩性的環0“復原”成原來的莫比烏斯環，則需要化解一個對立的陰陽兩性的面。 四、從莫比烏斯環生成為環0的過程，還使環0具有了因相互轉換而最終呈現為同一個方向上的、性質不同的四個“擰勁”。我們得知，任何一個肯定應該是一個具有同一個方向上的、有缺口的或說成是非絕對的否定之否定之否定之否定的矢量（有一定方向的否定）過程。 五、從環0生成環1和環2以及再“裂變”直至環n和環n+1後，所生成的所有的環n和環n+1都將套在一起，永遠無法分開、永遠也不可能與其它的環不發生聯繫而獨立存在。這說明宇宙萬物之間存在普遍聯繫的法則，而且任何一點或一個事物都與其他所有的宇宙萬物相通相連，是不可分割的、不可遺漏的。 六、宇宙萬物從最終起源上來講是沒有任何差異的，均起源於只有一個面的空間或者說沒有任何面的狀態。因此也可以說宇宙萬物都是從無中生有中而來，只不過是在演變的過程中呈現出差異而已。 七、在莫比烏斯環生成為環0的“裂變”過程中，無中生有的增加生成原有“擰勁”中的1倍的新的能量，也就是說在新產生的一對陰陽兩性關係體的過程中的“裂變”不遵循“能量守恆原則”；而之後的所有的宇宙萬物的再“裂變”只能使宇宙的時空增大，不再生成新的能量，而且在“裂變”中必然遵循“能量守恆原則”。 八、宇宙時空中的任何一個點都可以通過無中生有的方式第一次生成陰陽兩性，然後再分別以剛生成的陰陽兩性為基礎生成第一次的陰陽兩性的兩個物質，第二次、第三次……直至永無窮盡。麥比烏斯圈與克萊因瓶
如果我們把兩條莫比烏斯帶沿著它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶（當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“８字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面——克萊因瓶。 實際上，可以說克萊因瓶是一個三度的莫比烏斯帶。我們知道，在平面上畫一個圓，再在圓內放一樣東西，假如在二度空間中將它拿出來，就不得不越過圓周。但在三度空間中，很容易不越過圓周就將其拿出來，放到圓外。將物體的軌跡連同原來的圓投影到二度空間中，就是一個“二維克萊因瓶”，即莫比烏斯帶（這裡的莫比烏斯帶是指拓撲意義上的莫比烏斯帶）。再構想一下，在我們的三度空間中，不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃，但在四度空間裡卻可以。將蛋黃的軌跡連同蛋殼投影在三度空間中，必然可以看到一個克萊因瓶。 附：克萊因瓶在三維空間中是破裂的，最少要有一個裂縫，如果有兩個裂縫的話，它必然是兩條部分相和連的莫比烏斯帶，同樣n條莫比烏斯帶也可以組合成一個有n個裂縫克萊因瓶。?麥比烏斯圈的套用
麥比烏斯圈在數學中的套用
數學中有一個重要分支叫拓撲學，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特徵和規律的，麥比烏斯圈變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。麥比烏斯圈在實際生活中的運用?
? 麥比烏斯圈的概念被廣泛地套用到了建築，藝術，工業生產中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。? 垃圾回收標誌一、1979年，美國著名輪胎公司百路馳創造性地把傳送帶製成麥比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環面各處均勻地 PowerArchitecture標誌
承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍。 二、針式印表機靠列印針擊打色帶在紙上留下一個一個的墨點，為充分利用色帶的全部表面，色帶也常被設計成麥比烏斯圈。 三、在美國匹茲堡著名肯尼森林遊樂園裡，就有一部“加強版”的雲霄飛車——它的軌道是一個麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。 四、麥比烏斯圈循環往復的幾何特徵，蘊含著永恆、無限的意義，因此常被用於各類標誌設計。微處理器廠商Power Architecture的商標就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標誌也是由麥比烏斯圈變化而來。
幾何學與拓撲學結構
一個利用參數方程式創造出立體莫比烏斯帶的方法： 用Matlab描繪的莫比烏斯帶x(u,v)=[1+v/2×cos（u/2）]cos(u) y(u,v)=[1+v/2×cos（u/2）]sin(u) z(u,v)=v/2×sin(u/2) 其中0≤u＜2π且-1≤v≤1 。.這個方程組可以創造一個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶，所處位置為x-y面，中心為（0，0，0）。參數u在v從一個邊移動到另一邊的時候環繞整個帶子。 如果用極坐標方程表示的話(r,θ,z)，一個無邊界的莫比烏斯帶可以表示為： log(r)sin(θ/2)=zcos(θ/2)。
