基本介紹
定義
聚點
聚點任給 ，存在無窮多個 滿足
聚點
聚點
聚點則稱 為複數序列 的一個 聚點。
聚點與極限
有的序列可以有多個聚點。例如，實數序列
聚點就有兩個聚點1和-1.當序列的極限存在時，序列的極限是此序列的唯一聚點。
聚點 聚點在實數序列 中，數值最大的聚點稱為 的上極限，記作
聚點 聚點數值最小的聚點稱為 的下極限，記作
聚點對於上述序列
聚點
聚點上極限與下極限的概念在計算級數收斂半徑時常會用到。
聚點存在定理
定理1
聚點a是X的聚點的充要條件是：存在X中的各項不同的數列，使得
聚點
聚點
聚點 聚點 聚點 聚點 聚點
聚點事實上，只要證明在且的數列中，可以選出各項不同的子數列就可。因為且，這說明該數列不可能只有有限多個不同項組成(否則必有一項的值在中無窮次出現，這樣就收斂到該值，而它又不等於a，從而得出矛盾)，取這些不同項，按原來的順序排列後所得數列就是定理所要求的數列。
例 給出以[0，1]上所有實數為聚點的數列。
解 利用(0，1)上的有理數集的聚點就是[0，1]這個事實，來
構造數列如下：
聚點當然上述數列的項有相同的，如果捨去和前面相同的項的話，就得到一個各項不同的數列，它以[0，1]上實數為聚點，而各項又都是有理數。
定理2
（維爾斯特拉斯聚點定理）任何有界的無窮數集，都有聚點存在。
定理3
(波爾察諾定理) 有界數列有收斂的子數列。
聚點證明 若數列有無窮多項相同，它們重複出現的序號為
聚點
聚點 聚點 聚點 聚點
聚點 聚點
聚點 聚點則就是一個收斂的子數列。若沒有無窮多項相同，則數集為無窮有界數集，則由聚點原理，必有聚點a存在。再由定理1，在數集中有一個數列，a，以的次序排列後，得的一個子數列，它以a為極限，其中用了收斂數列重排後極限不變。
