結構塑性極限分析
正文
塑性力學的研究內容之一，研究結構在塑性極限狀態下的特性，亦稱結構破損分析。當作用在結構上的載荷增大至某一極限值時，理想塑性材料結構將變成幾何可變機構（見結構的幾何不變性），它的變形無限制地增大，從而使結構失去承載能力。這種狀態稱為結構的塑性極限狀態，對應於此狀態的載荷稱為塑性極限載荷。結構塑性極限分析的目的是：①求出極限載荷；②確定極限狀態下滿足應力邊界條件的應力分布規律；③找出結構破損時的機構形式。塑性極限分析是在假設材料具有理想剛塑性性質的前提下進行的，因而避開了彈塑性分析的複雜計算。由極限分析的解所得到的極限載荷，和由彈塑性分析所得到的極限載荷完全相等。研究方法 從事結構塑性極限分析，須先知道結構的外力和幾何約束邊界條件以及結構的材料常數。此外，還要利用如下的條件：①屈服條件，即在極限狀態下各應力分量組合應滿足的條件;②破損機構條件,即在極限載荷作用下結構變成幾何可變機構的條件；③平衡條件；④幾何條件，即應變和位移的關係所給出的條件。在這些條件中，①和②是建立在實驗基礎上的，而③和④則是結構所必須滿足的條件。凡是滿足以上全部條件的解稱為完全解。由於完全解不容易得到，在極限分析理論中發展了兩個定理，即下限定理和上限定理。
下限定理可表述為：與靜力容許場對應的外載荷不大於真實的極限載荷。所謂靜力容許場是指滿足平衡方程和外力邊界條件並且不違背屈服條件的應力場。下限定理提出了結構不破壞的必要條件，用它可計算結構承載能力的下限，這樣的下限有無窮多個。由於結構不破壞時所能承受的最大載荷與結構的真實極限載荷最接近，所以應選取由下限定理求出的極限載荷下限中最大的一個作為極限載荷的近似值。按平衡條件、屈服條件用下限定理求極限載荷最大下限的方法稱為極限分析的靜力法。
上限定理可表述為：與機動容許場對應的外載荷不小於真實的極限載荷。所謂機動容許場是指滿足幾何約束條件並能形成破損機構的位移速度場。外力在此速度場上作功的功率大於等於結構內部的耗散功率。上限定理提出了結構破壞的充分條件，用它可求得極限載荷的上限，這樣的上限也有無窮多個。在用上限定理求極限載荷時，由於假設結構已經破壞，所以應選取所求得的極限載荷上限中最小的一個作為極限載荷的近似值，它和真實的極限載荷最接近。只考慮機動方面的要求，而不考慮屈服條件和平衡條件的要求，按上限定理求極限載荷最小上限值的方法稱為極限分析的機動法。對於複雜的結構或複雜的載荷分布，常須用實驗方法得出一個破壞機構的形態，據此求出極限載荷的一個較好的上限值。如果一個載荷既是極限載荷上限，又是極限載荷的下限，它便是完全解的極限載荷。
除用靜力法和機動法以外，結構極限載荷的上限和下限還可以通過簡化屈服條件求得。此法的理論依據是：在結構的任何部分提高材料的屈服極限，都不會降低結構的承載能力；而在結構的任何部分降低材料的屈服極限,都不會提高結構的承載能力。在廣義應力空間中,屈服條件的數學表達式往往是非線性的，聯合求解這種非線性的方程和複雜結構的平衡微分方程在數學上往往有困難，因此，用線性的屈服條件代替非線性的屈服條件並找出複雜結構的近似解，是求解極限載荷上、下限的有效方法。例如，在圖中所示的廣義應力Q1、Q2的二維平面中，曲線A代表實際的屈服條件，多邊形B和多邊形C 分別代表線性化了的內接和外切的近似屈服條件。按多邊形B計算得到的極限載荷是實際極限載荷的下限,而按多邊形C計算得到的極限載荷是實際極限載荷的上限。 套用 用極限分析進行研究的結構主要有梁、剛架、板、殼等幾種類型，它們在極限狀態時有各自的特點。
梁和剛架是極限分析定理套用得最有成效的結構。計算梁和剛架的極限載荷須用到塑性鉸的概念。當梁的某截面上的彎矩達到塑性極限值Μp時,塑性變形只能在Μ＝Μp點處發生,該處曲率變化率可以任意增大，這時曲率的變化率不連續，就好象鉸一樣，這樣的鉸稱為塑性鉸。塑性鉸和普通鉸的區別在於：普通鉸不能傳遞彎矩,而塑性鉸能傳遞塑性極限彎矩；普通鉸是雙向鉸,而塑性鉸是單向鉸，即當轉角方向和彎矩方向一致時，可以發生自由塑性變形。塑性鉸一般出現在集中力作用處、支承處或當均布載荷作用時剪力為零處。塑性鉸的位置可用實驗方法確定。在結構中形成足夠數目的塑性鉸後，結構就變為機構。
在極限狀態下，板中會出現塑性鉸線，它是塑性鉸的連線，其性質和塑性鉸一樣，也可以用實驗方法確定。圓板受軸對稱載荷作用時，在極限狀態下，所有徑向塑性鉸線將連成一片，從而形成塑性區。在殼體結構中有一個或幾個區域處於塑性狀態後，殼體才會處於極限平衡狀態。
對於連續梁、桁架、剛架和受軸對稱載荷作用的圓板、環板、柱殼、球殼、錐殼已找到了不少極限分析的完全解。但對於靜不定次數比較高的靜不定結構，計算相當複雜。對於多邊形板、受非軸對稱載荷作用的圓板、柱殼、錐殼以及球殼徑向接管、圓柱殼徑向接管極限分析的完全解，還需要作進一步的研究。
反過來，根據極限分析原理，可以按照載荷的要求尋求最輕結構，這就是極限設計。
研究簡史 早在1914年，G.V.卡金契便對梁結構提出了下限定理的萌芽看法。1934年，蘇聯的A.A.格沃茲傑夫對確定桿繫結構承載能力的問題，給出了上、下限定理。1948年蘇聯的C.M.法因貝格用邏輯推理方法進一步考證了上、下限定理。1961年美國的W.普拉格等對二維和三維問題作了論述。此後，美國的P.G.霍奇套用簡化屈服條件的方法，找到許多板殼極限分析的完全解。
參考書目
霍奇著,蔣秋、熊祝華譯：《結構的塑性分析》,科學出版社， 北京， 1966。(P.G.Hodge, Plalysis of Strures,McGrawhill,New York,1959.)
徐秉業、陳森燦編著：《塑性理論簡明教程》，清華大學出版社，北京，1981。
