基本介紹
稀疏集 設X為一距離空間，A是X的子集。如果A在X的任何一個非空開集中均不稠密，則稱A為 稀疏集。
定義中的非空開集可以換成非空開球，下面的定理給出稀疏集的一個特徵。
第一類型集 第一類型集
第一類型集定理1 距離空間X的子集A為稀疏集的充分必要條件是對任一開球，存在另一個含於中的開球使
第一類型集定義 設A為距離空間X的子集，如果A可以表示成至多可列個稀疏集的並，則稱A是 第一類型集，又稱“ 第一綱集”，凡不是第一類型的集均稱為 第二類型集，又稱“ 第二綱集”。
因此，距離空間X的子集或者是第一類型的集或者是第二類型的集，二者必居其一。
有限個或可數個第一類型集的和是第一類型的集 。
例題分析
第一類型集 第一類型集例1（1）n維Euclid空間中的任一有限子集是稀疏集，特別地，任一單元素集是稀疏集，因此中的任一可列集是第一類型的集。
第一類型集
第一類型集
第一類型集
第一類型集 第一類型集 第一類型集 第一類型集 第一類型集 第一類型集（2）設，因為，故在中稠密，於是不是稀疏集。因此，包含在中的任一稀疏集必為空集。如果是可數個稀疏集的並，則必為空集，這樣就產生了矛盾。因此，為第二綱集。
第一類型的集與第二類型的集都是相對於一定的距離空間而言的，因而也都與事先給定的空間有著不可分割的聯繫 。
相關定理
第一類型集定理2設X是完備的距離空間，是X中的一列閉球，滿足
第一類型集(稱為閉集套).
第一類型集
第一類型集如果，則有唯一的點含於所有球中。
定理2的逆命題也成立。
定理3 如果距離空間X中的任一半徑趨於零的閉球套都有非空的交，則空間X是完備的。
下面的定理給出了完備距離空間的一個重要特性。
定理4(貝爾(Baire))完備的距離空間是第二類型的集 。
