沙爾定理

沙爾定理是指A、B、C是一直線上三點，則AB＋BC＝AC。其中AB、BC、AC是有向線段。他反應了有向線段相加的性質，是解析幾何的一條基本定理。

沙爾定理的證明沙爾證明：

1、設C在AB中間，則AB=|AB|，BC=—|BC|，AC=|AC|，
所以AB+BC=|AB|—|BC|=|AC|=AC
2、設C在A左側，則AB=|AB|，BC=—|BC|，AC=—|AC|
所以AB+BC=|AB|—|BC|=—|AC|=AC
同理可證當C在B右側時等式也成立。
推廣：
設A1，A2，A3…，A(n-1),An是同一直線上的n個點，則有A1A2+A2A3+…+A（n-1)An=A1An 成立。
證明：
用數學歸納法：假設A1A2+A2A3+…A(k-1)Ak=A1Ak 成立，則
A1A2+A2A3+…+A(k-1)Ak+AkA(k+1)
=A1Ak+AkA(k+1)
=A1A(k+1),
而當k=3時我們已經證明過它是成立的了，所以推廣得證。