弗雷德霍姆積分方程

積分方程是含有對未知函式的積分運算的方程，與微分方程相對。

弗雷德霍姆積分方程

正文

形如

1

　(1)

和

2

　(2)

的積分方程，依次稱為第一種弗雷德霍姆積分方程和第二種弗雷德霍姆積分方程，其中λ 是參數，φ(x)是未知函式，核K(x，y)和自由項 ƒ(x)是預先給定的函式。通常假設 K(x，y)屬於平方絕對可積函式類，記,B是非負數。當ƒ(x)恆為零時,稱為齊次積分方程，否則稱為非齊次積分方程。
逐次逼近法及解核　第二種弗雷德霍姆積分方程的最簡便的一種解法是逐次逼近法，即按遞推公式

給出方程(2)的n+1次近似解

，

這裡Km(x,y)表示K(x,y)的m次疊核，即 易知，

，

這裡l可取為小於m的任何自然數。當｜λ｜<B-1時,近似解序列{φn(x)}在【α,b】上是一致收斂的,其極限φ(x)就是方程(2)的解。
若級數一致收斂，記之為Γ(x,y;λ)，則Γ(x,y；λ)同時滿足下面兩個方程：

,　(3)

,　(4)

對於某值λ，若有平方絕對可積函式Γ(x，y；λ)同時適合方程(3)、(4),則稱Γ(x,y；λ)為解核。這時方程(2)對任意的自由項ƒ(x)有惟一解，它可表為

,　(5)

反之亦然。
對於解核不存在的值 λ，稱為特徵值。否則，稱為正則值。若且唯若λ是特徵值時，對應的齊次方程

　(6)

才有非零解。非零解φ(x)稱為對應於λ的特徵函式。
弗雷德霍姆方法　E.I.弗雷德霍姆給出了一般情形的解核構造法。設 K(x,y)是有界核,即│K(x,y)│<M（M 是實常數），記

,　(7)

, 　(8)

式中

。

套用阿達馬引理可估計,從而推知級數(7)、(8)對於一切復值 λ是絕對一致收斂的，因此，D(λ)、D(x，y；λ)都是關於λ的整函式，並分別稱為弗雷德霍姆行列式和弗雷德霍姆一階子式。可以證明，解核可表為Г(x,y；λ)=D(x，y；λ)/D(λ)。這表明解核是λ的半純函式。同時，解核的極點都是 D(λ)的零點，也都是齊次方程(6)的特徵值。反之亦然。
弗雷德霍姆定理　弗雷德霍姆對於第二種積分方程的研究，可歸結為如下的四個定理，總稱為弗雷德霍姆定理。它是弗雷德霍姆積分方程理論的基礎。
第一定理　在λ複平面的任意有限區域內，方程(2)至多只有有限個特徵值。
第二定理　每個特徵值λ至少對應於一個特徵函式，且所對應的線性無關的特徵函式的個數是有限的。這個有限數稱為λ的秩。
第三定理　設λ是核K(x,y)的特徵值，則 憳是共軛核 的特徵值。齊次方程 (6)與其共軛齊次方程具有相同的秩。
第四定理　若λ是核K(x，y)的特徵值，則非齊次方程(2)可解的充分必要條件為：方程(2)的自由項ƒ(x)與其共軛齊次方程的所有線性無關解ψi(x)正交，即

，

式中r是λ的秩。
因此，非齊次方程(2)，或者對任意自由項可解,或者相應的齊次方程有非零解。這一結論通常稱為弗雷德霍姆備擇定理。
對於第一種弗雷德霍姆積分方程，若φ(x)是它的解，又有非零的任意函式ψ(x)使得，則φ(x)+ψ(x)也是它的解。E.施密特對方程(1)的特徵值和特徵函式給出了如下的定義：若對於某實數 λ存在非零的函式φ(x)和ψ(x)，滿足方程組

,

,

則稱λ是方程(1)的特徵值，而【φ (x),ψ(x)】稱為對應於λ的相伴特徵函式對。易知,φ(x)和ψ(x)又分別為下面的第二種弗雷德霍姆積分方程的特徵函式：

，

式中

；

，

式中

。

而K壟（x,y）(i=1,2)都是對稱正核，故λ是實數，不妨認為λ > 0。方程（1）一定存在一組正特徵值{λi}和對應的正交標準的相伴特徵函式對{φi(x)，ψi(x)}。有時也稱之為奇值和奇值函式序列。套用它可類似地建立展開定理。施密特指出,方程（1）可解的必要條件是級數式中ƒi=(ƒ，φ)。以後，(C.-)É.皮卡進而證明，在正交標準特徵函式系{φi(x)}是完備的情形,這條件也是充分的。此即所謂施密特－皮卡定理。
對於第一種弗雷德霍姆積分方程的研究，近代有了新的進展，並提供了一些有效的解法，但至今還未建立起系統的理論。

配圖

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