維納－霍普夫方程

它早期的著名例子是輻射傳輸理論中的米爾恩方程，後來因1931年N.維納和E.霍普夫給出其求解方法而得名。20世紀40年代以後，這一方程的理論在解析函式邊值問題、調和分析和運算元理論的基礎上得到了系統的發展，其套用也從輻射問題擴展到許多其他領域.維納-霍普夫方法又稱因子分解法,是N.維納和E.霍普夫為求解方程.而提出的,已成為研究各種數學物理問題的一種常用方法。其基本思想是通過積分變換將原方程化為一個泛函方程，然後再用函式因子分解的方法來求解。

維納－霍普夫方程

正文

一類給定在半無窮區間上的帶差核的奇異積分方程，其一般形式為

(1)

式中μ為常數;k(x)(-∞<x<+∞)和ƒ(x)(0≤x<+∞)為已知函式；φ(x)(0<x<+∞)為未知函式。
方程(1)的研究開始於20世紀20年代初,它早期的著名例子是輻射傳輸理論中的米爾恩方程，後來因1931年N.維納和E.霍普夫給出其求解方法而得名。20世紀40年代以後，這一方程的理論在解析函式邊值問題、調和分析和運算元理論的基礎上得到了系統的發展，其套用也從輻射問題擴展到許多其他領域，例如中子遷移、電磁波衍射、控制論、多體問題以及人口理論等。
維納-霍普夫方法　又稱因子分解法,是N.維納和E.霍普夫為求解方程(1)而提出的,已成為研究各種數學物理問題的一種常用方法。其基本思想是通過積分變換將原方程化為一個泛函方程，然後再用函式因子分解的方法來求解。下面以方程(1)的求解為例來加以說明。 在x<0處，令φ(x)=ƒ(x)=0,首先將方程(1)開拓到整個實軸，即

式中

若（2）中諸函式滿足適當的條件，例如，存在h>0使得k(x)e,φ(x)ehx和ƒ(x)ehx屬於L1(-∞,+∞)，則藉助於傅立葉變換由(2)可得

這裡和下文大寫字母均表示相應函式的傅立葉變換，而大寫字母的下標+和－則分別表示該函式在半平面τ>－h和τ<h內解析。在許多情況下，對(3)可求出解的表達式。求解的關鍵在於將H(λ)=μ-K(λ)因子分解。一個常用的分解定理是,設H(λ)在｜λ｜<h內解析、無零點且一致地有則存在分解

式中H+(λ)和H-(λ)可由H(λ)求出，它們在相應半平面內無零點。由於在所述條件下，F+(λ)/H-(λ)在｜τ｜<h內解析，由柯西積分公式知，

這裡C+(λ)和C-(λ)可用來表示，因而由(3)得到由此利用解析開拓和廣義劉維爾定理求出φ+(λ)和ψ-(λ)（準確到相差一個整函式）,然後再對φ+(λ)進行傅立葉逆變換即可求得方程(1)的解φ(x)。
當僅假定k(λ)∈L1(-∞，+∞)和μ-K(σ)≠0(-∞≤σ≤+∞)時，μ-K(σ)也有類似分解,這時需要用到調和分析理論中的維納－萊維定理。由此套用巴拿赫空間中的運算元理論，還可在一般函式空間，例如

有界可測函式空間和有界連續函式空間中對方程 (1)進行求解。
主要結果　用E記上述函式空間。方程(1)的一個重要特點是其中積分僅是相應函式空間中的有界運算元，而不是全連續運算元，因此它和弗雷德霍姆積分方程在性質上有著本質的不同。這主要表現在:①齊次方程(1)和它的共軛方程線性無關解的個數一般不相等，它們的差等於

整數v(μ)稱為方程(1)的指標；②方程(1)的譜點一般為連續統,其中複平面閉曲線μ=K(σ)(-∞≤σ≤+∞)上的點為本質譜，亦即對於全連續運算元微擾不變的譜，而使得v(μ)>0的點μ為方程(1)的點譜。
函式 μ-K(σ)稱為方程(1)的符號。當符號無零點時，方程（1）稱為正常的,否則稱為例外的。對於正常方程，已經有了較系統的結果，其中主要有：①　設k（x）∈L1(-∞,+∞)，則方程(1)在E中滿足諾特定理(見奇異積分方程)的充分必要條件為μ-K(λ)≠0(-∞≤σ≤+∞)，故正常方程有時也稱為諾特型方程；②當v(μ)>0時，齊次方程（1）在E中有v(μ)個線性無關解，v(μ)≤0時無非零解；③當v(μ)>0時，非齊次方程(1)在E中有v(μ)個線性無關解，v(μ)=0時，有惟一解，v(μ)<0時，無解或有惟一解，有解的充分必要條件是其右端滿足條件

式中ψk(x)是方程(1)的共軛方程

的線性無關解。至於例外方程，也有不少結果，但尚無系統理論。
以上結果在作相應修改後，對於對偶積分方程、方程 (1)的離散形式特普利茨方程以及有關方程組也都同樣成立。
參考書目
　S.Prssdorf,Some Classes of Singular Equations,North-Holland,Amsterdam,1978.
　B.Noble,Method based on the Wiener-Hopf Technique for the Solution of partial Differential Equations, Pergamon Press, London, 1958.

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