奇異積分方程

奇異積分方程，通常是指帶有柯西核的奇異積分方程。

奇異積分方程

正文

通常是指帶有柯西核的奇異積分方程，它的一般形式是

(1)

這裡 L是複平面上的逐段光滑曲線，φ(t)是未知函式，α(t)、b(t)、ƒ(t)、K(t,τ)都是給定的函式,K(t,τ)最多只具有弱奇異性,方程(1)左端第二項的積分是在柯西主值意義下存在。解析函式論邊值問題、潮汐理論、正曲率曲面的無窮小變形以及彈性理論、流體力學等問題都可以歸結為奇異積分方程(1)。20世紀初期（J.-）H.龐加萊、D.希爾伯特以及後來的F.諾特、Η.И.穆斯赫利什維利等人都對奇異積分方程理論作出了重要貢獻。研究柯西型積分

(2)

的邊界性質（一般是在連續函式空間或平方可和函式空間來討論）是解決方程(1)的關鍵。方程(1)的特徵方程是

(3)

藉助於所謂希爾伯特邊值問題的標準解,方程(3)的解可以通過積分表成明顯形式,這對於研究方程(1)的一般理論起著很重要的作用。為了講清楚問題還必須引入指標的概念。把整數

叫做運算元（或者方程Kφ=ƒ）的指標，這裡【 】L表示當t沿正方向繞L一周時，括弧內的函式所獲得的增量。
區別指標的不同情況,有以下結論。①如果k>0,那么齊次方程k0φ＝0剛好有k個線性無關解。②如果k≤0，那么齊次方程k0φ=0沒有非零解。③如果k≥0,那么非齊次方程k0φ=ƒ對右端任意ƒ都是可解的。④如果k<0,那么非齊次方程k0φ=ƒ可解的充分必要條件是它的右端ƒ滿足-k個條件：

，

這裡ψk是給定的線性無關函式，當這些條件滿足時，方程0φ=ƒ有而且只有一個解。
研究一般奇異積分方程 (1)的重要方法之一是把它正則化（這時,奇異積分的換序公式將起重要作用）,所謂正則化就是把它歸結為一個在一定意義下與之等價的弗雷德霍姆積分方程。於是，類似於弗雷德霍姆備擇定理,對於方程(1)可以證明以下定理（通常統稱為諾特定理）：
定理Ⅰ 方程(1)可解的充分必要條件是滿足關係式

,(4)

式中ψj(t)是相聯方程

的線性無關解的完備系。
定理Ⅱ　齊次方程φ=0之線性無關解的個數k與相聯齊次方程┡ψ=0之線性無關解的個數k┡之差剛好等於運算元的指標k，即k-k┡=k。
在奇異積分方程(1)中代替柯西核還可以考慮希爾伯特核，這兩種核可以通過歐拉公式進行轉化。於是關於柯西核積分方程的理論結果，在一定條件下可以相應地轉移到帶有希爾伯特核的奇異積分方程上去。另外，積分主值意義，除了柯西主值以外，還可以考慮阿達馬主值。從而還可以討論具有高階奇異性的積分方程理論。
奇異積分方程的許多理論結果可以推廣到奇異積分方程組上去,這只需要把方程(1)中的α(t)、b)(t)、K(t,τ)理解為函式矩陣，而ƒ(t)，φ(t)理解為函式向量。
多維區域上某些類型的奇異積分方程以及非線性奇異積分方程理論近年來也都得到了相應的發展。

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