弗羅貝尼烏斯定理

弗羅貝尼烏斯定理

弗羅貝尼烏斯定理指出（C1光滑的情況）：
U為Rn的開集，F是Ω1(U)的常數階r階的子模。則F可積若且唯若對每個p ∈ U莖(stalk)Fp由r個恰當微分形式給出。
幾何上來看，它說每個1-形式的r階可積模和一個余維為r的層相同。這是研究向量場和層理論的基本工具之一。

推廣

這個結論在解析1-形式和和樂情況下也成立，但要把R換成C。它可以推廣到高階的微分形式，在有些條件下，也可以推廣到有奇點的情況。
也有用向量場表達的定理。存在和如下向量場相切的V的子流形的充分條件
X1, X2, ..., Xr,
可以表達為任意兩個場的李括弧
[Xi,Xj]
包含在這些場撐成的空間中。因為李括弧可在子空間上取，這個條件也是必要的。定理的這兩種表述是因為李括弧和外微分是相關的。
上面最後這個表述可以用來表明向量場在流形上的可積性。定理的這個變種表明流形M上的任何光滑向量場X可以積分，得到一個單參數族的曲線。這個可積性是因為定義曲線的方程是一階常微分方程，所以可積性有Picard-Lindelöf定理保證。