向量值函式

我們知道，一元函式是一個由定義域到值域的映射，其定義域與值域都是一維數集．我們要研究的向量值函式是指分量都是關於同一自變數的一元函式，就是說 n 元向量值函式是x到x上的映射。我們感興趣的是取值為二維和三維的向量值函式，即n = 2和n = 3的情形。

定義

一個函式，若其值域是一個線性空間或一個線性空間的一個子集，則稱此函式為向量值函式。

引入

在平面內運動的質點在t時刻的坐標(x, y)可以描述為x = f (t),，y = g(t)，t∈I ，這樣點(x, y) = (f (t), g(t))形成平面曲線C ，它是質點的運動路徑，它用參數方程來描述。如果用 r(t)表示從原點到質點在時刻t的位置P(f (t), g(t))的向量，那么 r(t) = OP = {f (t), g(t)} = f (t) i + g(t) j。

定義式

r(t) ={f (t), g(t), h(t)}= f (t) i + g(t) j+ h(t) k。

參數方程

Γ : x = f (t), y = g(t), z = h(t), t∈I。

極限與連續

引入

對於二維向量值函式 r(t) = f (t) i + g(t) j，設它在t的某去心鄰域內有定義，如果lim f(t)=a (t→t)，lim g(t)=b (t→t)，則稱當t →t 時，向量值函式r(t)的極限存在，其極限為lim r(t)=a i+b j (t→t)；

如果二維向量值函式 r(t) = f(t) i + g(t) j在t0 的某鄰域內有定義，且lim r(t)= r(t) (t→t)，則稱向量值函式r(t)在點t處連續；

如果 r(t)在區間 I 的每個點上連續，則稱r(t)為區間 I 上連續的向量值函式。

極限表達式

lim r(t)=a i+b j (t→t)，其中lim f(t)=a (t→t)，lim g(t)=b (t→t)。

微分

若向量值函式 r(t) = x(t) i+y(t) j+z(t) k，則向量值函式的微分表達式為：

r'(t) = x'(t) i + y'(t) j+z'(t) k或d r(t)/dt = {dx(t)/dt+dy(t)/dt+dz(t)/dt}。