多複變函數

自從複變函數的理論被廣泛套用於數學的各個分支後，人們自然想把複分析推廣到任何多個自變數，以及任何多個因變數的復向量值函式上。多複變函數就是研究這類推廣的複變函數。

正文

一開始，人們認為這種推廣只不過是形式上的照搬而已，但是很快人們就發現多複變函數與單複變函數有著許多差異。

首先，多複變函數什麼時候是全純函式？Hartoges 花了很大的力氣才證明：多複變函數全純若且唯若它對每個自變數都是全純的。這個結論看似簡單，實則難矣。迄今為止，人們都沒有找到一個簡化的證明。
其次， 關於函式的延拓也存在著極大的差異。我們知道，複平面上任何單連通的開集上都存在一個單複變函數，它不能延拓到這個開集之外--滿足這種性質的開集叫做全純域。但是在多複變函數里卻發生了奇特的現象：有一些開鄰域，它們上面的任何全純函式都可以延拓到外面去。這種現象稱為Hartoges現象。如果一個開鄰域不能發生Hartoges現象，我們就成這個領域為全純域。

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