三角形三邊的中點，三條高的垂足，垂心與各頂點連線的中點這9點共圓.
九點圓是幾何學史上的一個著名問題,最早提出九點圓的是英國的培亞敏.俾幾〔Benjamin Beven〕,問題發表在1804年的一本英國雜誌上.第一個完全證明此定理的是法國數學家彭賽列〔1788-1867〕.也有說是1820-1821年間由法國數學家熱而工〔1771-1859〕與彭賽列首先發表的.一位高中教師費爾巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九點圓,他的證明發表在1822年的《直邊三角形的一些特殊點的性質》一文里,文中費爾巴哈還獲得了九點圓的一些重要性質〔如下列的性質3〕,故有人稱九點圓為費爾巴哈圓.
九點圓具有許多有趣的性質,例如:
1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;
2.九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;
3.三角形的九點圓與三角形的內切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕.
4.九點圓是一個垂心組共有的九點圓,所以九點圓共與四個內切圓,十二個旁切圓相切.
5.九點圓心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四點共線且OG=2VG VO=2HO
九點圓圓心的重心坐標的計算跟垂心、外心一樣麻煩。
事先定義的變數與垂心、外心一樣：
d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘（句子很長^_^）。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐標：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。
