定義
丟番圖方程又名不定方程、整係數多項式方程，是變數僅容許是整數的多項式等式；即形式如右上角圖的方程，其中所有的aj、bj和c均是整數，若其中能找到一組整數解m1,m2...mn者則稱之有整數解。丟番圖問題有數條等式，其數目比未知數的數目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。對丟番圖問題的數學研究稱為丟番圖分析。
3世紀希臘數學家亞歷山大城的丟番圖曾對這些方程進行研究。
丟番圖方程的例子有貝祖等式、勾股定理的整數解、四平方和定理和費馬最後定理等
歷史概述
丟番圖方程是數論中最古老的分支之一。 古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。 Diophantus，古代希臘人，被譽為代數學的鼻祖，流傳下來關於他的生平事跡並不多。今天我們稱整係數的不定方程為「Diophantus方程」，內容主要是探討其整數解或有理數解。他有三本著作，其中最有名的是《算術》，當中包含了189個問題及其答案，而許多都是不定方程組 (變數的個數大於方程的個數)或不定方程式 (兩個變數以上)。丟番圖只考慮正有理數解，而不定方程通常有無窮多解的。研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。②有解時決定解的個數。③求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀的《 張丘建算經》中的百雞問題標誌中國對不定方程理論有了系統研究。秦九韶的大衍求一術將不定方程與同餘理論聯繫起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設x，y，z分別表雞翁、母、雛的個數，則此問題即為不定方程組的非負整數解x，y，z，這是一個三元不定方程組問題。
丟番圖生平
代數之父─丟番圖（Diophantine）是一位古希臘的大數學家，為第一位懂得使用符號代表數來研究問題的人。 其中丟番圖最著名的可能就是他的墓志銘了：
「墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路。
上帝給予的童年占六分之一，又過十二分之一，兩頰長鬍，再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。
五年之後天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。
悲傷只有用數論的研究去彌補，又過四年，他也走完了人生的旅途。 」
我們可以從中知道：“丟番圖的一生，幼年占1/6，青少年占1/12，又過了1/7才結婚，5年後生子，子先父4年而卒，壽為其父之半。”計算丟番圖的方程為X/6 + X/12 + X/7 + 5 + X/2 + 4 = X，X = 84，由此知道丟番圖享年84歲。
一次不定方程
一次不定方程是形式如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c的方程，一次不定方程有整數解的充要條件為： (a1,...,an)須是c的因子，其中(a1,...,an)表示a1,...,an的最大公因子。若有二元一次不定方程ax + by = c，且(a,b) | c，則其必有一組整數解x1,y1，並且還有以下關係式：
* x = x1 + [b / (a,b)]t
* y = y1 − [a / (a,b)]t
t為任意整數，故此一次不定方程有無限多解。請參見貝祖等式。
丟番圖分析
經典問題* 有解答嗎？
* 除了一些顯然易見的解答外，還有哪些解答？
* 解答的數目是有限還是無限？
* 理論上，所有解答是否都能找到？
* 實際上能否計算出所有解答？
希爾伯特第十問題
1900年，希爾伯特提出丟番圖問題的可解答性為他的23個問題中的第10題。1970年，一個數理邏輯的結果馬蒂雅謝維奇定理（Matiyasevich's theorem）說明：一般來說，丟番圖問題都是不可解的。更精確的說法是，不可能存在一個算法能夠判定任何丟番圖方程式否有解，甚至，在任何相容於皮亞諾算數的系統當中，都能具體構造出一個丟番圖方程，使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。
現代研究
* 丟番圖集是遞歸可枚舉集。
* 常用的方法有無窮遞降法和哈賽原理。
* 丟番圖逼近研究了變數為整數，但係數可為無理數的不等式。
國小要求的分式解法
丟番圖是一個人，他的生命是一個整體1他的生命一共經歷了以下一些關鍵點：
1/6、1/12、1/7、5年、1/2、4年，然後他死了
1/2是怎么得來的呢？因為他的孩子出生後，到他的孩子死了的這段時間，占丟番圖生命的一半，所以這段時間記為1/2，
現在來看看，他的生命一共由1/6+1/12+1/7+1/2和9年組成，那么問題很簡單了，就是你要知道這9年占據他一生的幾分之幾呢？
當然是1-(1/6+1/12+1/7+1/2)
因為從一開始就說了，丟番圖的生命是一個整體1
所以他的年齡有多大呢？反過來，就是
9除以（1-(1/6+1/12+1/7+1/2)）
對括弧裡面的分式進行統分，很簡單就解出來了
明白了嗎？ 9除以（1-(1/6+1/12+1/7+1/2)）=9除以（9/84），當然是84歲了。
