證明
等腰三角形ABC(AB=AC)已知：△ABC為等腰三角形，AB=AC,AD為中線。求證：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中：
{ BD=DC（等腰三角形的中線平分對應的邊）
AB=AC(等腰三角形的性質)
AD=AD（公共邊）
∴△ADB≌△ADC（SSS）
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形對應角相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已證），且∠BDC=180°（平角定義）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代換）
∴AD⊥BC
得證
套用
1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
2.∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
3.∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
逆命題
三線合一① 如果三角形中有一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。
② 如果三角形中有一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。
③ 如果三角形中有一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形。
如圖，①AD⊥BC於D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中線
（1）若以①②為條件，求證AB=AC。理由如下：
∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(ASA)
∴AB=AC
（2）若以②③為條件，求證AB=AC。理由如下：
∵AD是BC中線，
∴S△ABD=S△ACD，
作DE⊥AB於E，DF⊥AC於F，
又∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴AB=AC（等底等高）
（3）若①③，求證AB=AC。理由如下：
∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC
綜上所述，逆命題成立。
